A távcső elméleti szögfelbontása elsősorban az apertúrától és a megfigyelt hullámhossztól függ. Nagyobb átmérő kisebb elkülöníthető szöget ad, hosszabb hullámhossz nagyobbat. Az okulárral elért nagyítás ezt a diffrakciós határt nem változtatja meg: a már létrejött képet nagyítja tovább.
Mit jelent a Rayleigh-határ?
Egy pontszerű fényforrás képe véges méretű környíláson át diffrakciós mintázattá terül. Az ideális Rayleigh-kritérium két pont képét akkor tekinti éppen elkülöníthetőnek, amikor az egyik középpontja a másik első minimumára esik. A környílások felbontását tárgyaló OpenStax-fejezet ebből adja meg:
θ ≈ 1,22 × λ / D.
A λ a hullámhossz, D a szabad apertúra átmérője. Azonos hosszegységben kell megadni őket, az eredmény radián. Ívmásodpercre körülbelül 206 264,806-tal szorzunk. Kisebb θ finomabb szögfelbontást jelent.
A kritérium két közeli pontforrás elkülönítéséről szól. Egy különálló pontszerű forrás is létrehozhat észlelhető diffrakciós foltot, miközben saját kiterjedését nem bontjuk fel. A kapott szöget ezért ne nevezd a legkisebb észlelhető égitest szögátmérőjének.
A képlet ideális környílásra, a hullámhossznál sokkal nagyobb apertúrára vonatkozik. A tényleges távcsőben az optikai eltérések és a megfigyelési körülmények módosítják a képet; a számítás egy jól meghatározott elméleti viszonyítás.
Végigszámolt példa 150 mm-re
Szemléltető apertúránk 150 mm, a választott hullámhossz 550 nm. Méterben D = 0,150 m és λ = 0,000000550 m. A hányados 0,000003666667, majd az 1,22-es szorzóval:
θ ≈ 0,000004473333 radián.
Az átváltás után θ ≈ 0,92269 ívmásodperc. A távcső felbontóképesség-kalkulátorában 150-et és 550-et írj a megfelelő, mm-es és nm-es mezőbe. Gyakorlati közléshez a 0,92 ívmásodperc megfelelő kerekítés lehet, ha a többi körülményt is megadod.
Az apertúrát ne keverd össze a gyújtótávolsággal. Egy 150 mm átmérőjű, 750 mm fókusztávolságú távcsőnél ebben a képletben a 150 mm szerepel. A 750 beírása ötször jobb elméleti felbontást mutatna, de másik, ötször nagyobb átmérőjű eszközt modellezne.
Mi változik más átmérőnél vagy hullámhossznál?
300 mm-es apertúrával, változatlan 550 nm-en a határ feleződik: 0,46135 ívmásodperc. Ha viszont a 150 mm-es átmérőt tartjuk meg, és 650 nm-en számolunk, 1,09045 ívmásodperc adódik.
| Átmérő | Hullámhossz | Rayleigh-határ |
|---|---|---|
| 150 mm | 550 nm | 0,92269″ |
| 300 mm | 550 nm | 0,46135″ |
| 150 mm | 650 nm | 1,09045″ |
A megadott hullámhossz egy választott számítási pont. Széles hullámhossztartományú megfigyelésnél nincs egyetlen olyan érték, amely minden szín diffrakcióját egyszerre pontosan leírná.
Adott elméleti felbontáshoz mekkora apertúra tartozik?
Az összefüggés visszafelé is használható. Ha az 550 nm-es hullámhossznál a választott Rayleigh-határ 0,8 ívmásodperc, a szükséges ideális átmérő:
D = 1,22 × λ × 206 264,806 / θ.
Milliméterrel számolva λ = 0,00055 mm. Így D ≈ 173,00 mm az egyenlőséghez. Ha a követelmény legfeljebb 0,8 ívmásodperces Rayleigh-határ, ebben a modellben legalább ekkora apertúra szükséges, változatlan hullámhossz mellett. A 150 mm-es példarendszer 0,92269 ívmásodperces elméleti határa ennél nagyobb; a kiválasztott 0,8-as számhoz a modellen belül nagyobb apertúra tartozik.
A gyújtótávolság növelése ugyanennek a 150 mm-es apertúrának a Rayleigh-határát nem változtatja meg. A kamera képskáláját viszont igen. A képskáláról szóló példában 3,76 µm-es pixellel és 600 mm-es fókusszal 1,292594 ívmásodperc jut egy pixelre. Ezen a skálán a 0,92269 ívmásodperces szögtávolság körülbelül 0,714 pixel.
Ez a hányados pusztán a szög és a mintavétel összevetése; nem a tényleges csillagkép átmérője és nem felbontási garancia. A kívánt szöget ezért az apertúrával, a kamera képskálájával és a mért csillagképekkel együtt vizsgáld. A 173 mm-es eredmény egy ideális modell követelménye, a teljes megfigyelési rendszer megfelelő működését külön kell igazolni.
A Rayleigh-szög és a diffrakciós korong átmérője
Az 1,22λ/D szög a pontkép középpontjától az első sötét minimumig tart. A központi diffrakciós korong átmérője ennek kétszerese szögben. A két csillag Rayleigh-feltétel szerinti középtávolságát ezért ne azonosítsd egyetlen csillag korongátmérőjével.
A 150 mm-es apertúra és 550 nm-es hullámhossz mellé válasszunk 600 mm gyújtótávolságot. A fókuszsíkban az első minimum sugara kis szögű közelítéssel 1,22 × 0,55 µm × 600/150 = 2,684 µm, a központi korong átmérője 5,368 µm. 3,76 µm-es pixelekkel ez körülbelül 1,428 pixel átmérő.
Ez az első minimumok közötti elméleti méret. A diffrakciós gyűrűkben ezen kívül is van fény, a képfeldolgozásban mért félértékszélesség pedig más szélességmérő. Megfigyelt csillagképet csak azonos módon definiált szélességgel vess össze az elmélettel.
A Dawes-érték másik összehasonlítás
A kalkulátor a Dawes ≈ 116 / D összefüggést is kijelzi, D-t milliméterben használva és ívmásodpercet kapva. A Celestron felbontási útmutatója ezt csillagok elkülönítéséhez megadott határként ismerteti.
150 mm-nél 116 / 150 ≈ 0,77333 ívmásodperc. Ez külön mérőszám, ezért nem várjuk, hogy azonos legyen az 550 nm-es Rayleigh-értékkel. A képlet nem tartalmaz szabadon választható hullámhosszt, így abból hullámhosszfüggő összehasonlítást ne vezess le.
A kész képen mi korlátozhat?
A légköri nyugtalanság, az optika beállítása és a leképezési hibák a tényleges képet rontják. Ha egy szemléltető megfigyelésben a légkör több ívmásodpercre teríti a csillag képét, a 0,92-es elméleti szám önmagában nem garantál ilyen finom elkülönítést.
Kamerás felvételnél a mintavételt a képskála-kalkulátorral ellenőrizd. A felbontási határ ívmásodpercben, a képskála ívmásodperc/pixelben szerepel: összetartozó, de eltérő mennyiségek. A konkrét rendszer értékeléséhez a kiszámolt határ mellé a tényleges felvétel csillagképeit és a használt pixelméretet is nézd meg.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. 150 mm helyett 300 mm apertúrát használsz, a hullámhossz azonos. Hogyan változik az ideális Rayleigh-szög?
- A) A felére csökken.
- B) A kétszeresére nő.
- C) Változatlan marad.
2. A Rayleigh-szög a pontkép középpontjától az első minimumig 0,92269″. Mekkora a központi korong átmérője e definíció szerint?
- A) 0,92269″
- B) 1,84538″
- C) 0,461345″
3. Ugyanazon apertúrához hosszabb fókuszt teszel. Javítja ez önmagában a diffrakciós szögfelbontást?
- A) Igen, a fókusz az apertúra helyére kerül.
- B) Igen, minden kétszeres nagyítás felezi a Rayleigh-szöget.
- C) Nem; a képskálát változtatja, a λ/D határt nem.
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) Mi változik más átmérőnél vagy hullámhossznál? résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
A) A felére csökken. – θ≈1,22λ/D: változatlan λ mellett az átmérő kétszerese feleakkora határszöget ad. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Mi változik más átmérőnél vagy hullámhossznál?.
2. megoldás
B) 1,84538″ – A középponttól a minimumig sugárnyi távolságot számoltunk; az átellenes minimumok közötti átmérő ennek kétszerese. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A Rayleigh-szög és a diffrakciós korong átmérője.
3. megoldás
C) Nem; a képskálát változtatja, a λ/D határt nem. – Az ideális szögfelbontásban a hullámhossz és a nyílásátmérő szerepel. A kamera mintavétele ettől külön vizsgálandó. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Adott elméleti felbontáshoz mekkora apertúra tartozik?.