Logisztikus növekedésnél a kezdeti mennyiség mellett a feltételezett K egyensúlyi szintet és az r rátát is meg kell adnod. A számított növekedési sebesség a populáció aktuális méretével változik. Külön érdemes figyelni az egyedszám szerinti és az egy egyedre jutó ütemet.
A megoldóképlet használata
Pozitív kezdőérték mellett N(t) = K/[1 + ((K − N₀)/N₀)e⁻ʳᵗ]. Legyen K = 1000, N₀ = 100, r = 0,4/nap. Öt nap múlva a nevező 1 + 9e⁻², ezért N(5) ≈ 450,85.
Ugyanezekkel a kezdőértékekkel a korlát nélküli exponenciális modell 100e² ≈ 738,91-et adna. A különbség itt abból ered, hogy a logisztikus egyenlet a K-hoz viszonyított telítődést is tartalmazza. Ez két külön feltevésrendszer összehasonlítása.
Hol a leggyorsabb az abszolút növekedés?
Az egyenlet dN/dt = rN(1 − N/K). A K alatti pozitív tartományban a növekmény N = K/2 mellett a legnagyobb. A példában ez 500 egyed körüli állapot. Az ehhez szükséges idő t = ln 9/0,4 ≈ 5,493 nap.
A kezdeti szakaszban kevés egyed növekszik, a korlát közelében pedig az egy egyedre jutó növekedési ütem kicsi. A legnagyobb pillanatnyi növekedési sebesség ezért a kettő között jelentkezik. A „napi” egység itt a sebesség mértékegysége; egy teljes nap tényleges növekményéhez a nap eleji és végi N érték különbségét kell számolni. Az abszolút növekményt és a százalékos ütemet külön értelmezd.
A modellből levonható következtetés
N₀ = K esetén az állapot változatlan. N₀ > K esetén az egyszerű modell K felé csökkenést ad. Ez nem jelenti, hogy minden tényleges populáció simán követi ezt a görbét: időbeli késések, külső hatások és több faj kapcsolatai további dinamikát okozhatnak. A kalkulátorral paramétereket hasonlíts össze, és őrizd meg, milyen megfigyelések vagy feladatadatok alapján választottad K-t és r-t.
Azonos darabszám szerinti ütem, eltérő arány
K = 1000 és r = 0,4/nap mellett N = 200 állapotban a sebesség 0,4 × 200 × 0,8 = 64 egyed/nap. N = 800 mellett 0,4 × 800 × 0,2 ugyancsak 64 egyed/nap. A két állapot ugyanakkora pillanatnyi abszolút növekedést ad, de az egy egyedre jutó ütem 64/200 = 0,32/nap, illetve 64/800 = 0,08/nap. Az első arány négyszerese a másodiknak.
A K/2 = 500 állapotban a legnagyobb sebesség rK/4 = 100 egyed/nap. Ha a kezdőérték már 500 fölött, de 1000 alatt van, a modell későbbi növekedési sebessége innen csökken. A félkapacitás elérésére felírt negatív idő ilyenkor a kezdőidőpont előtti állapotot jelölné. A képlet használatakor pozitív K, pozitív r és pozitív kezdőérték mellett rögzítsd azt is, milyen időszakra tekinted állandónak a paramétereket.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
A számpéldák saját szemléltető számítások.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. Hol a legnagyobb az abszolút növekedés a K alatti tartományban?
- A) K/2-nél
- B) Nullánál
- C) K-nál
2. Mi történik N₀ = K esetén?
- A) Nullára csökken
- B) A modellben állandó marad
- C) Azonnal duplázódik
3. K = 1000 és r = 0,4/nap mellett mit mutat az N = 200 és N = 800 állapot összehasonlítása?
- A) 800 egyednél négyszer nagyobb az abszolút növekedés
- B) Mindkettőnél azonos az egy egyedre jutó ütem
- C) Mindkettőnél 64 egyed/nap az abszolút sebesség, de 200 egyednél nagyobb a relatív ütem
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: Elkülönítetted az abszolút és relatív növekedési sebességet, valamint a K egyensúlyi állapotát. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
A) K/2-nél – Az N(1 − N/K) szorzat ott maximális. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Hol a leggyorsabb az abszolút növekedés?.
2. megoldás
B) A modellben állandó marad – Az 1 − N/K tényező nulla. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A modellből levonható következtetés.
3. megoldás
C) Mindkettőnél 64 egyed/nap az abszolút sebesség, de 200 egyednél nagyobb a relatív ütem – A két szorzat 0,4 × 200 × 0,8 és 0,4 × 800 × 0,2 egyaránt 64. A relatív ütemhez ezt az aktuális egyedszámmal kell osztani: 0,32/nap és 0,08/nap adódik. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Azonos darabszám szerinti ütem, eltérő arány.