Számtani sorozatnál mindig ugyanannyit adsz az előző taghoz. Mértani sorozatnál mindig ugyanazzal a számmal szorzod az előző tagot. A választást a feladatban leírt változási szabály dönti el. Az utolsó tag és az összes tag összege pedig két külön eredmény, eltérő kérdésre adnak választ.
Egy mérési vagy termelési adatsor néhány kezdeti értéke még nem bizonyítja, hogy a későbbi értékek is ezt a szabályt követik. A következő példák előre rögzített matematikai tervek. Valós teljesítményre vonatkozó előrejelzést külön indoklás nélkül nem adnak.
Naponta azonos többlet
Egy szemléltető terv első napi anyagigénye 120 kg, és minden következő napon 15 kg-mal több. A nyolcadik napi igényt és a nyolc nap együttes mennyiségét keressük.
Az első tag a₁ = 120 kg, a differencia d = 15 kg, a sorszám n = 8. A nyolcadik napig hét növelés történik, ezért a₈ = 120 + (8 − 1) × 15 = 225 kg.
A teljes sor 120; 135; 150; 165; 180; 195; 210; 225 kg. Az első és az utolsó tag összege 345 kg, ugyanennyi a második és az utolsó előtti tag összege. Négy ilyen pár van, így a teljes mennyiség 4 × 345 = 1380 kg.
Az általános képletek aₙ = a₁ + (n − 1)d és Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. A számtani sorozat definícióját az OpenStax, az összegképletet a sorokról szóló fejezet vezeti le.
A 225 kg a nyolcadik nap mennyisége. Az egész időszak anyagbeszerzését a 1380 kg alapján tudod vizsgálni, ha az induló készletet és a többi feltételt külön figyelembe veszed.
Naponta azonos százalék
Változtassuk meg a szabályt: induljunk ugyanúgy 120 kg-ról, de minden következő napi érték az előzőnél 10%-kal nagyobb legyen. A szorzó q = 1 + 10/100 = 1,10. Az első négy tag 120; 132; 145,2; 159,72 kg. A többletek 12; 13,2; 14,52 kg, tehát különböznek.
A nyolcadik tag a₈ = 120 × 1,10⁷ = 233,846052 kg, kerekítve 233,85 kg. A véges összeg q ≠ 1 esetén Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Így S₈ = 120 × (1,10⁸ − 1)/0,10 = 1372,306572 kg, vagyis 1372,31 kg.
A százalékos változást tehát hétszer alkalmazzuk a nyolcadik taghoz, az összegképletben viszont a nyolcadik hatvány szerepel. A mértani sorozat kifejtett alakja megmutatja ezt az indexelést. A nagyobb utolsó tag ebben a példában kisebb teljes összeggel jár együtt, mert a kezdeti napok mennyiségei alacsonyabbak.
Hány teljes napra elég 1500 kilogramm?
Most mindkét korábbi tervhez legyen 1500 kg induló készlet, utánpótlás nélkül. A napi igény előre rögzített, és csak a teljes napi mennyiséget kiszolgáló napot számítjuk teljesítettnek.
A számtani terv nyolc napra 1380 kg-ot igényel. A kilencedik nap 120 + 8 × 15 = 240 kg, így kilenc napra 1620 kg kellene. A megmaradó 1500 − 1380 = 120 kg pozitív készlet, de a kilencedik teljes naphoz kevés.
A mértani terv nyolc napra körülbelül 1372,3066 kg, a kilencedikre további 120 × 1,1⁸ ≈ 257,2307 kg. A kilencnapos összeg ezért körülbelül 1629,5372 kg. Ebben a változatban is nyolc teljes napra elég az induló mennyiség.
| Terv | Nyolc nap teljes igénye | Kilenc nap teljes igénye | Teljes napok 1500 kg-ból |
|---|---|---|---|
| Napi +15 kg | 1380 kg | 1620 kg | 8 |
| Napi +10% | 1372,3066 kg | 1629,5372 kg | 8 |
Nagyobb időtávnál a mértani sor összegképletét közvetlenül is visszafordíthatod. A készletfeltétel 120 × (1,1ⁿ − 1) / 0,1 ≤ 1500. Ebből 1,1ⁿ ≤ 2,25, majd:
n ≤ ln(2,25) / ln(1,1) ≈ 8,5083.
A teljes napok száma egész, ezért a megengedett legnagyobb érték 8. A logaritmusos lépés az ismeretlen kitevőt fejezi ki; a feltételeit a logaritmusos egyenletek levezetése mutatja meg.
A 8,5083 itt tagsorszámhatár, amelyből a teljesíthető egész napot választjuk ki. Nem jelenti azt, hogy a készlet a kilencedik nap körülbelül felénél fogy el: a napi igény napon belüli felhasználási menetét nem adtuk meg. Ha a kérdés az első olyan nap vége, amelyre az összesített tervezett igény meghaladja az 1500 kg-ot, a válasz a kilencedik nap. Készletfedezetnél az utolsó még teljesíthető napot, célmennyiségnél az első már elegendő napot keresed; ez dönti el az egész sorszám kiválasztását.
Az index és a kerekítés eldöntendő kérdés
Ha a feladat az induló állapot utáni nyolc növelést kéri, az a₁ jelölés mellett a kilencedik tagot keresed. Írd le az első két állapotot, így láthatóvá válik, mit számozol. Az n itt pozitív egész darabszám.
A q = 1 esetben minden tag azonos, az összeg n × a₁. A törtalak ilyenkor 0/0-t adna, ezért külön képlet kell. Csökkenő mértani sorozatnál például 10%-os fogyáshoz q = 0,90 tartozik; a −0,10 szorzó váltakozó előjeleket eredményezne.
Csökkenő igénynél előbb az elérhető összes mennyiséget ellenőrizd. Saját új változatban a napi igény 120 kg-ról indul, és minden nap 10%-kal kisebb az előzőnél: q = 0,90. Ha ez a szabály korlátlan ideig, kerekítés nélkül érvényes, az összes felhasználás 120 / (1 − 0,90) = 1200 kg-hoz tart. Az 1500 kg-os készletet ez az elméleti terv soha nem használja fel teljesen.
Az első nyolc nap összege 683,439348 kg. Az összes későbbi nap együttes igényének határértéke 120 × 0,9⁸ / (1 − 0,9) = 516,560652 kg; a kettő együtt 1200 kg. Ha a tényleges üzemeltetésnek minimum napi felhasználása van, vagy egész csomagokat kell felnyitni, a csökkenő sor feltétele megszűnik. Ekkor az ilyen összeghatár alapján készletfedezetet ígérni hibás lenne.
A sorozatkalkulátorban válaszd ki a típust, majd add meg az első tagot, a differenciát vagy hányadost és n értékét. A példákban csak a végén kerekítettünk. Ha minden napi mennyiséget kötelező egész kilogrammra kerekíteni, az így módosított napi értékeket külön kell összeadni: az eredeti összegképlet a kerekítés előtti sorozatra vonatkozik.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A számtani terv első napja 120 kg, a növekmény naponta 15 kg. Mennyi a nyolcadik nap és az első nyolc nap összege?
- A) 225 kg és 1380 kg.
- B) 240 kg és 1380 kg.
- C) 225 kg és 1800 kg.
2. A 120 kg-ról induló, napi 10%-kal növekvő tervre 1500 kg készlet jut. A megoldás n ≤ 8,5083. Mit jelent ez a napi igények ismeretében?
- A) Pontosan a kilencedik nap 50,83%-ánál fogy el a készlet.
- B) Kilenc teljes napra elegendő.
- C) Nyolc teljes napot lehet kiszolgálni; a napon belüli kifogyási idő ebből nem ismert.
3. 120 kg-ról indulva a napi igény minden nap 10%-kal csökken, korlátlanul és kerekítés nélkül. Felhasználja-e ez a modell az 1500 kg készletet?
- A) Nem: a teljes végtelen összeg 1200 kg-hoz tart.
- B) Igen, a nyolcadik napig.
- C) Igen, minden pozitív napi igényű sor elfogyasztja bármely véges készletet.
Megoldások és pontozás
1. A. A nyolcadik napig hét növelés van: 120 + 7 × 15 = 225. Az összeg 8 × (120 + 225)/2 = 1380 kg. Ismétléshez: Naponta azonos többlet.
2. C. Az n itt az összegzett teljes napok sorszáma. Nyolc nap 1372,3066 kg körüli, kilenc 1629,5372 kg körüli igény; napon belüli eloszlást nem adtunk meg. Ismétléshez: Hány teljes napra elég 1500 kilogramm?.
3. A. A q = 0,9 hányadosú sor összege 120/(1−0,9) = 1200 kg. Minimum napi igény vagy egész csomagos felhasználás esetén a modell feltételei megváltoznának. Ismétléshez: Az index és a kerekítés eldöntendő kérdés.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.