Koordinátákból akkor számolható közvetlenül egy egyszerű sokszög területe, ha a csúcsokat a határvonal mentén sorolod fel. Az óramutató járásával egyező vagy ellentétes körüljárás egyaránt megfelelő. Az összevissza pontsorrend viszont más alakzatot, akár önmetsző határvonalat hoz létre.
Az x és y értékek egy síkbeli, azonos léptékű, egymásra merőleges tengelyrendszerhez tartozzanak. A méterben megadott koordinátákból négyzetméteres terület adódik. Földrajzi szélességet és hosszúságot fokban megadva ez a síkbeli képlet nem szolgáltat közvetlenül négyzetmétert.
Egy L alakú alaprajz pontjai
Saját szemléltető alakzatunkat az alábbi hat pont határolja. Minden koordináta méterben értendő, a pontokat ebben a sorrendben kötjük össze, végül F-ből visszatérünk A-ba.
| Pont | x, m | y, m |
|---|---|---|
| A | 0 | 0 |
| B | 6 | 0 |
| C | 6 | 2 |
| D | 2 | 2 |
| E | 2 | 5 |
| F | 0 | 5 |
A koordinátás területképlet T = |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|/2. Minden pontot az utána következővel párosítasz; az utolsót az elsővel. Az összeg előjele a körüljárástól függ, a végső területhez az abszolút értéket veszed. A Wolfram MathWorld Polygon Area szócikke leírja ezt az előjeles területszámítást.
A hat élhez tartozó részértékek rendre: AB esetén 0, BC esetén 12, CD esetén 8, DE esetén 6, EF esetén 10, FA esetén 0. Például a CD tag 6 × 2 − 2 × 2 = 8, a DE tag pedig 2 × 5 − 2 × 2 = 6.
Az összeg 0 + 12 + 8 + 6 + 10 + 0 = 36 m². Ennek fele a keresett terület: T = 18 m². A köztes összeg az előjeles terület kétszerese, ezért az utolsó osztást nem szabad elhagyni.
Második ellenőrzés téglalapokkal
A teljes befoglaló téglalap 6 × 5 m-es, területe 30 m². Ebből a jobb felső sarokban egy 4 × 3 m-es téglalap hiányzik. A kivonással 30 − 12 = 18 m², ami megegyezik a koordinátás eredménnyel.
Összeadással is dolgozhatsz: az alsó sáv 6 × 2 = 12 m², a bal felső rész 2 × 3 = 6 m². Ezek nem fedik át egymást, ezért a területük összege 18 m².
A kerület külön számítás. Az oldalak hossza 6; 2; 4; 3; 2; 5 m, összegük 22 m. Ebből nem következik automatikusan a 18 m²-es terület: azonos kerületű alakzatok területe eltérhet. A koordináták mindkét eredményhez elegendő adatot hordoznak.
Ha a két tengely léptéke eltér
Egy rajzról leolvasott pontlista még nem feltétlenül méterben értendő. Új változatként legyenek az előző L alak számai rajzi koordináták, amelyeknél egy vízszintes egység 0,40 m, egy függőleges egység pedig 0,25 m. A tengelyek merőlegesek, és mindkét irányban állandó a saját lépték.
A koordinátás képlet ekkor 18 rajzi egység² területet ad. Egy ilyen egységnégyzet fizikai mérete 0,40 × 0,25 m, tehát területe 0,10 m². Az L alak valódi területe:
T = 18 × 0,40 × 0,25 = 1,80 m².
Ugyanezt közvetlenül méteres koordinátákból is kiszámíthatod: minden x értéket 0,40-nel, minden y értéket 0,25-tel szorozz. Például B = (6; 0) helyett (2,4; 0), D = (2; 2) helyett (0,8; 0,5), E = (2; 5) helyett (0,8; 1,25) szerepeljen. A számolóba a teljes, már egységesen méterre átváltott pontlistát add meg.
A két lépték átlagát területszorzóként használni hibás. A 0,325 m/egység átlag négyzete 0,105625 lenne, amely 18-cal szorozva 1,90125 m²-t ad. Ez 5,625%-kal több a helyes területnél. A területet a két irány szorzója együtt alakítja át, átlagolásra nincs szükség.
A kerülethez újra az egyes szakaszok irányát kell nézni. Az L alak vízszintes szakaszainak összhossza 6 + 4 + 2 = 12 rajzi egység, a függőlegeseké 2 + 3 + 5 = 10. A fizikai kerület 12 × 0,40 + 10 × 0,25 = 7,30 m. A régi 22-es kerület egyetlen átlagos léptékkel szorozva itt sem adja a megfelelő eredményt.
Az azonos arányú nagyításnál használt négyzetes területszorzó akkor alkalmazható, ha mindkét tengely szorzója ugyanaz. Perspektivikusan készült fényképnél ennél összetettebb átalakítás is szükséges lehet; két állandó tengelylépték csak az itt megadott geometriát írja le.
Pontsorrend, lyuk és ismételt csúcs
A fordított A–F–E–D–C–B sorrendben ugyanazt a határt járod be. A képlet összegének előjele megfordul, az abszolút érték után a terület változatlan. Ha viszont például A után D-be ugrasz, már egy belső átlót is határként kezelsz. A hihető szám nem bizonyítja, hogy a kívánt alakzatot számoltad.
A koordinátás területkalkulátor ábráján ellenőrizd a határvonalat. A felület önmetszést, ismételt csúcsot és nulla területű alakzatot nem fogad el. Az első pontot nem kell újra felvenned a sor végén: az eszköz automatikusan lezárja a sokszöget.
Ha a területben teljesen belső üres rész van, a külső határt és az üres részt külön, önmagukban egyszerű sokszögként számold ki, majd vond ki a belső területet. Több kivágásnál kerüld az átfedések kétszeri levonását. A példában szereplő L alak nyitott bemetszése már része a felsorolt külső határnak, ezért azt a koordinátás eredményből másodszor levonni hiba lenne.
A belső kivágás a határhossznál más műveletet igényel. Ha az összes vágott vagy szegélyezett élt keresed, a külső kerülethez add hozzá a különálló belső kivágások kerületét. Ha csak az alakzat külső körbejárása érdekel, a belső határok kimaradnak. A területből levont lyuk kerületét ezért ne vond le automatikusan a külső kerületből.
Nagy helykoordinátákból készíts helyi koordinátákat
Az L alak pontjai felmérési adatként például A = (500 000; 200 000), B = (500 006; 200 000) értékekkel is szerepelhetnek, ha minden eredeti ponthoz ugyanazt az eltolást adtuk. A terület továbbra is 18 m², miközben a képletben nagy szorzatok különbségei jelennek meg. Korlátozott számábrázolásnál ez feleslegesen ronthatja a numerikus pontosságot.
Minden pont x koordinátájából vonj le 500 000-et, y koordinátájából 200 000-et. Így visszakapod a rövid, helyi pontlistát. A kivonási alap tetszőleges, de minden pontra ugyanaz legyen. A közös eltolás nem változtatja az élvektorokat, a kerületet vagy a területet; a területképletben az eltolásból keletkező tagok a zárt körüljárás miatt kiesnek.
A helyi origót az eredeti koordináta-rendszerrel együtt őrizd meg, hogy a pontok helye később visszaállítható legyen. A módszer a számolást javítja, az eredeti mérés pontosságát és a választott vetület alkalmasságát nem módosítja.
A végső értéket a koordináták pontosságához igazítsd. Két tizedesjeggyel mért pontokból kapott hosszú tizedestört nem jelent ugyanilyen pontos helyszíni területmérést.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. Az L alak hat csúcsát fordított körüljárással írod fel, a határ ugyanaz marad. Hogyan változik a koordinátás terület?
- A) A terület kétszeres lesz.
- B) A terület negatívként értelmezendő.
- C) Az előjeles összeg előjele megfordul, az abszolút terület 18 m² marad.
2. A 18 rajzi egység² L alaknál egy x-egység 0,40 m, egy y-egység 0,25 m. Mennyi a fizikai terület?
- A) 1,80 m².
- B) 1,90125 m².
- C) 18 m².
3. Egy teljesen belső lyukat kivágsz a sokszögből. Az összes vágott él hosszát keresed. Hogyan kezeld a lyuk kerületét?
- A) Vond le a külső kerületből, ahogyan a területét is.
- B) Add hozzá a külső kerülethez.
- C) Mindig hagyd ki.
Megoldások és pontozás
1. C. A fordított körüljárás minden élhez tartozó előjeles tagot megfordít. Az abszolút érték fele továbbra is ugyanaz a geometriai terület. Ismétléshez: Pontsorrend, lyuk és ismételt csúcs.
2. A. A két tengelyszorzó szorzata 0,40 × 0,25 = 0,10 m²/rajzi egység². A terület 18 × 0,10 = 1,80 m²; az átlagos lépték négyzete itt hibás volna. Ismétléshez: Ha a két tengely léptéke eltér.
3. B. A belső kivágás új vágási határt hoz létre. Területét levonjuk a használható felületből, kerületét az összes vágott élhez hozzáadjuk. Ismétléshez: Pontsorrend, lyuk és ismételt csúcs.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.