Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege az átfogó négyzetével egyezik: a² + b² = c². Egy téglalap átlója ilyen háromszög átfogója, ezért a két oldalhossz ismeretében kiszámítható. A módszerhez a derékszög feltételét előzetesen ismerni vagy ellenőrizni kell.
A négyzetre emelés előtt minden hossz ugyanabban az egységben szerepeljen. Ha az egyik oldal méterben, a másik centiméterben érkezett, előbb válts. A gyökvonás után a hosszt az eredetileg választott egységben kapod meg.
Egy keret átlója lépésenként
Egy szemléltető téglalap mérete 0,90 × 1,20 m. Feltételezzük, hogy az oldalak pontosan derékszöget zárnak be. Az átló négyzete 0,90² + 1,20² = 0,81 + 1,44 = 2,25 m². A pozitív négyzetgyök 1,50 m.
Centiméterben ugyanígy számolva 90² + 120² = 8100 + 14 400 = 22 500 cm², amelynek gyöke 150 cm. A két számítás ugyanazt a hosszat adja. A négyzetes köztes egységből a gyökvonás állítja vissza a hosszegységet.
A fordított feladatban legyen az átló 1,50 m és az egyik oldal 0,90 m. A másik oldal négyzete 1,50² − 0,90² = 2,25 − 0,81 = 1,44 m², a másik oldal tehát 1,20 m. Átfogó keresésekor összeadsz, hiányzó befogónál a megfelelő négyzeteket kivonod.
A kapcsolat és az oldaljelölések az OpenStax Pitagorasz-tételt tárgyaló fejezetében ellenőrizhetők. A példák itt saját számítások.
Átlóból és képarányból két oldal
Egy másik elméleti téglalap szélességének és magasságának aránya 16:9, az átlója 139,7 cm. Írjuk a két oldalt 16k és 9k alakban. A Pitagorasz-tétel szerint (16k)² + (9k)² = 139,7², vagyis 337k² = 19 516,09.
Ebből k = 139,7 / √337. A szélesség 139,7 × 16 / √337 ≈ 121,76 cm, a magasság 139,7 × 9 / √337 ≈ 68,49 cm. A két értékből újra számolt átló a kerekítés előtti adatokkal pontosan 139,7 cm.
Képernyőnél ez a számítás a feltételezett téglalap alakú képterületre vonatkozna. A külső keret, állvány vagy szükséges szabad hely külön méret. Beférési döntésnél az egész tárgy tényleges méreteit kell összevetni a rendelkezésre álló hellyel.
Mit jelez egy eltérés?
A tétel megfordítása pontos geometriai adatokra is használható: ha egy valódi háromszög pozitív oldalai teljesítik az a² + b² = c² egyenlőséget, a c oldallal szemközti szög derékszög. Keretnél ehhez a két egymáshoz csatlakozó oldalt és a szabad végpontjaikat összekötő átlót mérd. Az ellenőrzés erre az egy szögre vonatkozik; a teljes négyszög többi tulajdonságához további adat kell.
A 0,90 és 1,20 m-es oldalakhoz pontosan 1,50 m átló tartozna. Egy helyszíni leolvasás azonban rendszerint meghatározott pontossággal adott. Új feltevésként legyen a két oldal 90 ± 0,5 cm, illetve 120 ± 0,5 cm. A ±0,5 cm itt a számításban elfogadott alsó és felső eltéréshatár, valószínűséget nem rendelünk hozzá.
Az első oldal 89,5 és 90,5 cm, a második 119,5 és 120,5 cm közé eshet. Pozitív oldalaknál az átló mindkét oldal növelésével nő. A derékszögű modell legkisebb és legnagyobb átlója ezért a két megfelelő szélsőértékből adódik:
Legkisebb átló = √(89,5² + 119,5²) ≈ 149,3000 cm.
Legnagyobb átló = √(90,5² + 120,5²) ≈ 150,7000 cm.
Tegyük fel, hogy az átló külön mérése 149,6 ± 0,2 cm-et ad. Ez a 149,4–149,8 cm tartomány metszi az oldalakból kapott tartományt. A három mérés ezért összeegyeztethető a derékszögű feltételezéssel. Ettől a keret derékszöge még nincs bizonyítva: csak azt látjuk, hogy a megadott eltéréshatárok mellett nincs számszerű ellentmondás.
Ha az átlómérés ehelyett 148,0 ± 0,2 cm, a 147,8–148,2 cm tartomány teljesen a lehetséges 149,3000 cm minimum alatt marad. A mérések és a derékszögű modell ezekkel a határokkal már nem teljesülhetnek egyszerre. Ellenőrizd a mérési végpontokat, az oldalakhoz rendelt eltéréshatárokat és magát a szöget; az átló önmagában nem nevezi meg az eltérés okát.
A két szélső sarokkal számolt tartomány azt feltételezi, hogy az oldalak megadott értékei egymástól függetlenül is előfordulhatnak. Ha a mérési eljárás összekapcsolja a két eltérést, azt a részletesebb modellben figyelembe kell venni.
Átfogónak a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt kell választani. Ha hiányzó befogó számításakor a gyök alatt negatív szám jelenik meg, pozitív valós oldalhosszt ezekből az adatokból nem kapsz. Egyenlő átfogó és megadott befogó esetén a hiányzó oldal nulla lenne, ami elfajult alakzat.
A Pitagorasz-kalkulátor külön módot ad az átfogó és a hiányzó befogó keresésére. A példát először 0,90 és 1,20, majd 1,50 és 0,90 megadásával ellenőrizheted. A számoló a feltételezett geometriából dolgozik, így a derékszög valós helyszíni ellenőrzését nem helyettesíti.
Két egyenlő átló elegendő a keret ellenőrzéséhez?
Egy általános négyszögnél nem. Saját síkbeli ellenpéldánk csúcsai sorban A = (0; 0), B = (4; 0), C = (3; 2), D = (1; 2). Mindkét átló hossza √13 ≈ 3,6056 egység, mégis trapézt kaptunk: az alsó oldal 4, a felső 2 egység hosszú. Az A-ból induló (4; 0) és (1; 2) oldalirány skaláris szorzata 4, tehát nem merőlegesek.
Paralelogrammánál az egyenlő átlók már téglalapot eredményeznek, de ehhez a szemközti oldalak párhuzamosságát is ismerned kell. A mérési tervben ezért előre nevezd meg, milyen alakzatot feltételezel, és melyik méréssel ellenőrzöd ezt. Általános keretnél az oldalak, a csúcsok síkbelisége és az átlók együtt adnak értékelhető geometriai ellenőrzést.
A végső hosszt a feladatnak megfelelő pontossággal kerekítsd. A köztes négyzeteket és gyököket érdemes teljes pontossággal megtartani, különösen akkor, ha az eredményt további terület- vagy térfogatszámításban használod.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. Derékszögű háromszög átfogója 1,50 m, egyik befogója 0,90 m. Mekkora a másik befogó?
- A) 1,80 m.
- B) 0,60 m.
- C) 1,20 m.
2. Az oldalak megengedett tartományából derékszög mellett 149,3000–150,7000 cm átló következik. A külön átlómérés 149,4–149,8 cm. Mit mondhatsz?
- A) Biztosan ellentmondásosak az adatok.
- B) Összeegyeztethetők a derékszögű modellel; ez önmagában nem bizonyítja a derékszöget.
- C) Biztosan pontosan derékszögű a keret.
3. Egy általános négyszög két átlója egyenlő. Következik ebből, hogy téglalap?
- A) Igen, minden esetben.
- B) Igen, ha csak egyetlen oldalt is megmérsz.
- C) Nem; a cikk egyenlő átlójú, nem derékszögű trapézt is megad.
Megoldások és pontozás
1. C. A hiányzó befogó √(1,50² − 0,90²) = √1,44 = 1,20 m. Itt kivonjuk a négyzeteket. Ismétléshez: Egy keret átlója lépésenként.
2. B. A tartományoknak van közös része, ezért létezik közösen megengedett érték. A mérési tartomány több geometriai helyzetet is engedhet. Ismétléshez: Mit jelez egy eltérés?.
3. C. Az A(0;0), B(4;0), C(3;2), D(1;2) trapéz átlói egyaránt √13 hosszúak. A téglalap-következtetéshez további feltételek kellenek, például már ismert paralelogramma. Ismétléshez: Két egyenlő átló elegendő a keret ellenőrzéséhez?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.