A z-érték azt mutatja meg, hány szórással van egy adat az átlag felett vagy alatt. Pozitív érték az átlag fölé, negatív az átlag alá esik. Valószínűséget akkor kapcsolhatsz hozzá a normális eloszlás segítségével, ha ez az eloszlás megfelelő modell a vizsgált jelenségre. Az átskálázás önmagában még nem teszi normálissá az adatokat.
Mit kell elosztanod mivel?
A standardizálás képlete:
z = (x − μ) / σ.
Az x a vizsgált érték, μ az eloszlás várható értéke, σ a pozitív szórása. Az x, μ és σ azonos mértékegységű; z mértékegység nélküli. A MIT standardizálási feladata ezt az átalakítást vezeti le. A standard normális eloszlás várható értéke 0, szórása 1; az eloszlás függvényeit a NIST leírása mutatja be.
Szemléltető modellünkben egy ismételt művelet időtartama normális eloszlású, várható értéke 100 másodperc, szórása 18 másodperc. Ezek feltételezett adatok. A 127 másodperces művelet eltérése 27 másodperc, így z = 27 / 18 = 1,5. A 82 másodpercesé z = (82 − 100) / 18 = −1.
Az eredmény alapján a 127 másodperc másfél szórással az átlag felett van. Ez még nem 1,5%-os eltérés: az átlaghoz viszonyított százalékos növekedés itt 27%, más nevezővel számított mennyiség.
A z-értéktől a valószínűségig
Jelöljük Φ(z)-vel a standard normális eloszlásban a z alá eső területet. A példában Φ(1,5) ≈ 0,933193. A modell szerint egy művelet 93,32% valószínűséggel tart legfeljebb 127 másodpercig. A hosszabb idő valószínűsége 1 − 0,933193 ≈ 6,68%.
A 82 és 127 másodperc közé eséshez két alsó terület különbségét vesszük:
P(82 ≤ X ≤ 127) = Φ(1,5) − Φ(−1) ≈ 0,774538.
Ez 77,45%. A grafikus számológép eloszlásműhelyében válaszd a normális modellt, adj meg 100 várható értéket, 18 szórást, 82 alsó és 127 felső határt. Ugyanezt a területet kapod 0 várható értékkel, 1 szórással, −1 és 1,5 határokkal. A megjelenítésnél kerekíts, a két Φ-értéket a kivonás előtt tartsd több számjegyen.
Mekkora időhatár alá esik a modell 95%-a?
Fordítsuk meg a kérdést: most egy előre választott 95%-os arányhoz keressük az időt. A standard normális eloszlás ehhez tartozó kvantilise közel 1,644854. Ez egyoldali felső küszöb: a teljes eloszlás 95%-a alatta helyezkedik el. A középső 95%-ot befogó tartomány más kérdés, amelyhez alsó és felső határ is tartozik; annak felső végpontját nem lehet automatikusan ide átemelni. A z-képlet visszarendezve:
x = μ + σ × z.
A 100 másodperces várható értékkel és 18 másodperces szórással x = 100 + 18 × 1,644854 ≈ 129,61 másodperc. A választott modell szerint az ennél hosszabb műveletek aránya 5%. A kvantilist és az eloszlásfüggvényt a már hivatkozott NIST-leírás kezeli.
Ha a várható érték változatlan, de a szórás 24 másodpercre nő, ugyanez a 95%-os határ 139,48 másodperc lesz. A két folyamat átlagosan ugyanannyi ideig tart, mégis közel tíz másodperc különbség van a felső küszöbükben. Egy idővállalás értékelésénél ezért az átlag mellé a szóródás is kell.
Ez a kézi visszaszámítás a feltételezett eloszlás kvantilise. Valós adatokból becsült paramétereknél a küszöb is becsült; önmagában nem igazolja, hogy a következő időszakban valóban teljesül a 95%. Ha közvetlenül a megfigyelésekből akarsz határt képezni, a mintapercentilisek számítását használd, és tüntesd fel az eltérő módszert.
Egy feladat ideje és sok feladat átlaga eltérően szóródik
Maradjon a valódi várható érték 100, az egyedi szórás 18 másodperc. Tegyük fel, hogy 36 egymástól független, azonos normális eloszlású időt mérünk. A 36 érték átlagának varianciája 36 × 18² / 36², szórása ezért 18/√36 = 3 másodperc. Az átlag normális eloszlása ebben a feltevésben pontos, és a felső 95%-os kvantilise 100 + 1,644854 × 3 ≈ 104,93 másodperc.
Ez a harminchat idő átlagának eloszlására vonatkozik. Egy következő egyedi feladat 95%-os határa továbbra is 129,61 másodperc körüli. A kisebb, 3 másodperces értéket az egyedi idő helyére behelyettesítve indokolatlanul szűk idővállalás készülne.
A példa ismert paraméterekkel dolgozik. Ha a 100-at és a 18-at magából a mintából becsülöd, az átlagra vonatkozó következtetésnél ezt is kezelned kell. Egymással összefüggő feladatidőknél pedig a kovarianciák is bekerülnek az átlag varianciájába, ezért a √n-es csökkenés nem alkalmazható automatikusan.
Mit jelent egyetlen pontos érték?
Folytonos modellben pontosan 127 másodpercnek nulla a valószínűsége; a görbe alatti terület intervallumhoz tartozik. Egy egész másodpercre kerekített kijelzés viszont értéktartományt fed le. Ha a készülék szokásosan kerekít, a „127” kijelzés nagyjából 126,5 és 127,5 másodperc közötti időt jelent. Ennek már számítható pozitív valószínűsége van. A 100 másodperces várható értékű, 18 másodperces szórású modellben Φ((127,5 − 100)/18) − Φ((126,5 − 100)/18) ≈ 0,007197, vagyis körülbelül 0,720%. A kijelzett egész számhoz tartozó sávot számoltuk; a pontos 127 másodperces pont valószínűsége továbbra is nulla.
Ezért a „mekkora a valószínűsége ennek a mérésnek?” kérdésnél előbb tisztázd a pontosságot és a tartományt. A sűrűségfüggvény adott pontbeli magassága sem azonos a valószínűséggel.
Mikor maradj a leíró adatoknál?
A statisztikai kalkulátorral ellenőrizheted a tényleges adatsor átlagát és szórását. A mintából számolt átlag és mintaszórás becslés; behelyettesítésükkel a modell szerinti százalékok is becslések lesznek.
Ha saját adatsorból állítod elő a modell bemeneteit, az átlag, medián és szórás értelmezéséről szóló útmutató a kiugró értékek hatását, valamint a mintaszórás és a sokasági szórás különbségét is végigvezeti.
Erősen ferde adatsornál, több külön csoport keverékénél vagy sok szélső értéknél ellenőrizd az eloszlás alakját, mielőtt normális valószínűséget közölsz. Az időtartam például nem lehet negatív, miközben a normális modellnek nincs alsó határa. A modell csak olyan tartományban lehet hasznos közelítés, ahol ez nem torzítja érdemben a kérdésedet. Nulla szórásnál a z-képlet nem értelmezhető: az összes érték azonosságát kezeld külön esetként.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A feltételezett normális modell várható értéke 100 s, szórása 18 s. Mekkora z tartozik 127 másodperchez?
- A) 1,5.
- B) 1,5%.
- C) 27.
2. Melyik a 100 s várható értékű, 18 s szórású normális modell egyoldali felső 95%-os küszöbe?
- A) Körülbelül 129,61 másodperc.
- B) Körülbelül 104,93 másodperc minden egyedi feladatra.
- C) Pontosan 118 másodperc.
3. Miért 3 s a 36 független, azonos normális eloszlású idő átlagának szórása, miközben az egyedi szórás 18 s?
- A) Mert az átlag varianciája 18²/36, szórása 18/√36.
- B) Mert a várható érték is hatodára csökken.
- C) Mert az egyedi feladatok ettől hatszor egyenletesebbé válnak.
Megoldások és pontozás
1. A. Az eltérés 27 másodperc, ezt a 18 másodperces szórással osztjuk. A z mértékegység nélküli. Ismétléshez: Mit kell elosztanod mivel?.
2. A. Az egyoldali 95%-os standard normális kvantilis 1,644854 körüli; 100 + 18 × 1,644854 ≈ 129,61 s. Ismétléshez: Mekkora időhatár alá esik a modell 95%-a?.
3. A. A 3 s a 36 elem átlagának ingadozását jellemzi. Az egyedi feladat szórása 18 s és várható értéke 100 s marad. Ismétléshez: Egy feladat ideje és sok feladat átlaga eltérően szóródik.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.