Egy húszdarabos készletből öt különböző elemet választasz ellenőrzésre. Ha a kiválasztott darabokat nem teszed vissza, a következő húzás összetétele az előzőktől függ. Ilyenkor az állandó valószínűségű, független próbák egyszerű modellje eltérő eredményt adhat.
Az alábbi saját példában a teljes készlet hibás darabszámát ismertnek feltételezzük. A feladat célja a mintába kerülő darabok eloszlásának kiszámítása. Valódi minőségellenőrzésnél a teljes hibás darabszám gyakran éppen ismeretlen; azt a példából nem lehet automatikusan megállapítani.
Határozd meg a készletet és a mintát
Legyen összesen 20 darab, közülük 3 hibás és 17 megfelelő. Véletlenszerűen kiválasztunk 5 különböző darabot, úgy, hogy minden ötdarabos csoport egyformán lehetséges legyen.
Az összes lehetséges minta száma „20 alatt az 5”, vagyis 15 504. A hibás darabot nem tartalmazó minták száma „17 alatt az 5”, azaz 6188. A nulla hibás darab valószínűsége ezért 6188/15 504 ≈ 39,91%.
Legalább egy hibás darab mintába kerülésének esélye ennek kiegészítője: 1 − 6188/15 504 ≈ 60,09%. Ez az adott, ismert összetételhez és véletlen mintaválasztáshoz tartozik.
A teljes eloszlás is ellenőrizhető
Pontosan egy hibás darabnál a három hibás közül egyet, a tizenhét megfelelő közül négyet választunk. Az esély körülbelül 46,05%. Pontosan két hibás esélye 13,16%, mindháromé pedig 0,88%.
A pontos, kerekítés előtti valószínűségek összege egy. A megjelenített százalékok kerekítése okozhat kis összegeltérést; az ellenőrzéshez a teljes pontosságú értékek kellenek.
Az R hivatalos hipergeometrikus dokumentációja megadja a visszatevés nélküli képletet és a lehetséges kimenetek határait. A fenti készlet és az összes kiszámolt esély saját számpélda.
Miért más az állandó hibaarányú közelítés?
A készlet kezdeti hibaaránya 3/20 = 15%. Ha öt egymástól független próbában mindvégig 15% hibavalószínűséget feltételeznénk, a legalább egy hiba esélye 1 − 0,85⁵ ≈ 55,63% lenne.
Ez körülbelül 4,46 százalékponttal kisebb a visszatevés nélküli 60,09%-nál. A binomiális számítás itt más modellt ír le. A különbség oka, hogy egy megfelelő darab kivétele után a megmaradt készletben nő a hibás darabok aránya.
A vizsgatétel-húzás kalkulátor ugyanehhez a visszatevés nélküli matematikai szerkezethez kapcsolódik. A hibás darabokat az egyik kijelölt csoportként lehet értelmezni; a feliratokat és a bemenetek jelentését tudatosan kell megfeleltetni.
A nulla talált hiba nem teljes minőségi bizonyíték
A példában három hibás darab biztosan van a készletben, mégis körülbelül 39,91% eséllyel egyik sem kerül az ötös mintába. Ez megmutatja, miért nem következik egy hiba nélküli mintából automatikusan a teljes készlet hibamentessége.
A várható hibás darabszám 5 × 3/20 = 0,75. Egyetlen mintában természetesen egész számú hibás darab lehet. A 0,75 ismételt, azonos módon végzett kísérletek elméleti átlagát jelenti; nem egy ténylegesen kiválasztott „háromnegyed darabot”.
A valós mintavételi döntéshez a véletlenszerű kiválasztás módját, a hiba felismerésének megbízhatóságát és az elfogadási szabályt is meg kell határozni. Ez a cikk nem minősítési vagy átvételi szabvány.
Hány darab kellene egy 90%-os megtalálási esélyhez?
A készlet továbbra is pontosan 20 darab, benne három hibással; minden azonos méretű minta egyformán valószínű. Most azt a saját tervezési célt választjuk, hogy legalább egy hibás mintába kerülésének esélye érje el a 90%-ot. Ez a példában megadott matematikai cél, nem átvételi minősítési szabály.
Tíz kiválasztott darabnál a hibamentes minta esélye „17 alatt a 10” osztva „20 alatt a 10”-zel. Ennek kiegészítője körülbelül 89,47%, tehát tíz darab még kevés. Tizenegy darabnál a megfelelő számítás körülbelül 92,63%. A mintát eggyel növelve a megtalálási esély nem csökkenhet, ezért a célhoz szükséges legkisebb mintaméret most 11 darab.
| Mintaméret | Legalább egy hibás mintába kerülésének esélye |
|---|---|
| 5 | 60,09% |
| 10 | 89,47% |
| 11 | 92,63% |
| 18 | 100% a megadott összetételnél |
A tizennyolcas határeset számlálással is ellenőrizhető: csak 17 megfelelő darab van, így 18 különböző kiválasztott darab között legalább egy hibásnak lennie kell. A „mintába kerül” és a „felismerjük” továbbra is két külön feltétel. A táblázat a hibák tökéletes felismerése mellett értelmezhető megtalálási arányként.
A tervezés következő lépése ezért az ismertnek feltételezett három hibás darab ellenőrzése. Ha ez csupán feltételezés, több lehetséges készletösszetételre számolj külön. A hipergeometrikus eloszlás dokumentációja a készletösszetételt és a mintaméretet külön bemenetként kezeli; az ismeretlen hibaszámot a képlet nem állapítja meg helyetted.
Gyakori kérdések
Visszatevéssel is ezt a képletet használjam?
Visszatevés és megfelelő függetlenség mellett más, állandó valószínűségű modell indokolt lehet. A mintaválasztás módját előbb tisztázni kell.
Mi történik, ha mind a húsz darabot ellenőrzöm?
A modellben mindhárom hibás darab a mintába kerül. A felismerés tényleges pontossága ettől külön kérdés.
Ismeretlen hibaszámnál is megkapom a 60,09%-ot?
Nem. Ez a három hibás darab feltételezésére adott eredmény. Ismeretlen készletösszetételnél becslési vagy döntési feladatot kell külön megfogalmazni.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. A megoldások ellenőrzése után minden helyes válaszért 1 pontot adj magadnak; a hibás, kihagyott vagy több válasszal megjelölt kérdés 0 pont. Összesen 0–3 pont szerezhető.
1. Miért függ a következő húzás a korábbiaktól visszatevés nélkül?
- A) Mert minden húzásnál nő a készlet.
- B) Mert a megmaradt készlet összetétele az elvett daraboktól függ.
- C) Mert a hibás darabok száma minden alkalommal biztosan csökken.
2. A megadott 20 darabban három hibás van. A 90%-os legalább egy hibás célhoz mi a legkisebb mintaméret?
- A) 11.
- B) 10.
- C) 5.
3. Öt darabot ellenőriztél, hibát nem találtál. Bizonyítja ez a teljes készlet hibamentességét?
- A) Igen, öt megfelelő darab mindig elég.
- B) Igen, ha a minta véletlen.
- C) Nem; a példában a három hibás mellett is 39,91% esély van hibás nélküli ötös mintára.
Megoldások és pontszám
1. B. A megfelelő vagy hibás darab kivétele eltérően módosítja a megmaradt arányt. A teljes készlet mérete mindkét esetben csökken.
2. A. Tíz darabnál 89,47%, tizenegynél 92,63% az esély. Az esemény valószínűsége a mintaméret növelésével nem csökken, így a küszöböt először 11 éri el.
3. C. A véletlen mintaválasztás mellett is kimaradhat mindhárom hibás. A nulla találat értelmezéséhez a mintavételi modell és a készletösszetétel szükséges.
3 pont: A mintavételi módot, a küszöböt és a nulla találat korlátját is kezelted. A saját célodnál a küszöb alatti és feletti egész mintaméretet is ellenőrizd.
2 pont: Az 1. kérdéshez a megmaradt készletet, a 2.-hoz a 10 és 11 darabos próbát, a 3.-hoz a 39,91%-os nulla találatot nézd át.
0–1 pont: Kezdd a hibátlan minták megszámlálásával, és ezek arányát vond ki egyből. Ezután tisztázd, melyik hibaszámot és felismerési feltételt feltételezted.