Egy alkatrész mért mérete lehet az előírt tűrésen belül úgy, hogy az előre egyeztetett döntési szabály alapján mégsem fogadható el. A mérési bizonytalanság és az elfogadási határ közötti kapcsolatot ezért a vizsgálat előtt érdemes számszerűen rögzítened. Enélkül ugyanarra a mérési eredményre eltérő megfelelőségi állítások születhetnek.
Az alábbi saját példában kétoldali mérettűréssel, normális mérési modellel és egy kifejezetten megválasztott döntési sávval számolunk. Megnézzük az egyetlen mért darabhoz tartozó kockázatot, a mérési eljárás ismétlésekor előforduló hibás döntéseket és egy pontosabb mérés hatását is.
A tűrést és az elfogadási szabályt külön rögzítsd
A szemléltető alkatrész valódi, vizsgált mérete akkor felel meg az előírásnak, ha:
9,900 mm ≤ y ≤ 10,100 mm.
Az alsó tűréshatár L = 9,900 mm, a felső H = 10,100 mm. A teljes tűrésmező szélessége 0,200 mm. Ezek előre megadott követelmények; a mérés bizonytalansága nem módosítja az alkatrész előírt méretét.
A mérési eljárás standard bizonytalansága legyen u = 0,020 mm, és a példában az egész vizsgált tartományban tekintsük állandónak. A k = 2 tényezővel képzett kiterjesztett bizonytalanság U = 0,040 mm. Feltételezzük a jelentős ismert rendszeres eltérések korrekcióját és a mérési modell alkalmazhatóságát.
Most azt a kétkimenetelű szabályt választjuk, hogy a mért x értéket akkor fogadjuk el, ha a teljes x ± U intervallum a tűrésen belül helyezkedik el. Ez mindkét oldalon w = U = 0,040 mm széles döntési sávot, angolul guard bandet jelent.
Elfogadási tartomány: L + w ≤ x ≤ H − w.
Behelyettesítve 9,940 mm ≤ x ≤ 10,060 mm. A példában a határpontokat is elfogadjuk. Az ezen kívüli mért eredmények a választott szabály szerint elutasítást kapnak.
Az ILAC G8:09/2019 útmutató többféle döntési szabályt tárgyal. A vizsgálatnak megfelelő szabály előzetes egyeztetését és dokumentálását hangsúlyozza. A w = U itt választott szabály; alkalmazhatóságát az adott előírással és a szerződéses követelménnyel kell összevetni. Általánosan kötelező sávszélességet ebből a példából nem lehet megállapítani.
Ugyanaz a tűrés, eltérő mérési döntések
| Mért x érték | x − U | x + U | A választott szabály eredménye |
|---|---|---|---|
| 9,935 mm | 9,895 mm | 9,975 mm | Elutasítás; az alsó elfogadási határon kívül van |
| 10,055 mm | 10,015 mm | 10,095 mm | Elfogadás |
| 10,060 mm | 10,020 mm | 10,100 mm | Elfogadás, pontosan a felső elfogadási határon |
| 10,070 mm | 10,030 mm | 10,110 mm | Elutasítás; a felső elfogadási határon kívül van |
A 9,935 és a 10,070 mm-es kijelzés egyaránt a tűrésen belül található. A teljes bizonytalansági intervallumuk azonban átlépi valamelyik tűréshatárt. A választott szabály ezért elutasítja őket.
Az elutasító döntés önmagában nem bizonyítja, hogy a darab valódi mérete kívül van a tűrésen. A szabály az elfogadás feltételét rögzíti, és ezzel együtt bizonyos megfelelő darabok elutasítását is vállalja. Ha a folyamat feltételes eredményt vagy új vizsgálatot is megenged, annak jelentését és következményét külön kell előre meghatározni. Az ILAC útmutató a többkimenetelű szabályokat is ismerteti.
A döntést a rendelkezésre álló, kellően pontos számértékből hozd meg, a közlési kerekítést pedig utána végezd. Egy 10,0604 mm-es érték a mostani 10,060 mm-es határon kívül van akkor is, ha három tizedesre kerekítve ugyanúgy 10,060 mm jelenik meg.
Mit jelent egy darabnál a hibás elfogadás kockázata?
A további valószínűségi számításhoz külön feltevés kell. A mérés után a valódi Y mennyiségről rendelkezésre álló információt a példában x közepű, u szórású normális eloszlással írjuk le. Jelölése Y adott x mellett: N(x,u²). Ez például ismert szórású, korrigált normális mérési modell és lényegében egyenletes előzetes információ mellett használható közelítés. Az előzetes információnak a tűréshatárokon túl is kellően széles tartományban laposnak kell lennie; a kizárólag 9,900–10,100 mm közé korlátozott előzetes eloszlás más eredményt adna. Erős korábbi információt a darabról vagy a gyártási folyamatról ebben a számításban nem alkalmazunk.
A JCGM 106:2012 útmutató a mérési információból származó megfelelési valószínűséget és az egyedi kockázatot tárgyalja. Egy elfogadott konkrét darab egyedi fogyasztói kockázata annak esélye, hogy a valódi érték mégis a tűrésen kívül van. Az értelmezés a választott valószínűségi modellhez kötött.
Jelölje Φ(z) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. A NIST normális eloszlásról szóló leírása adja ennek matematikai hátterét. Kétoldali tűrésnél mindkét kilógó rész valószínűségét figyelembe vesszük:
P(Y a tűrésen kívül | x) = Φ((L − x) / u) + 1 − Φ((H − x) / u).
A felső elfogadási határon, x = 10,060 mm-nél az alsó és felső határ standardizált távolsága −8 és +2. A tűrésen kívüli valószínűség:
Φ(−8) + 1 − Φ(2) ≈ 0,02275013, azaz 2,2750%.
Az alsó oldali tag ebben a konkrét méretarányban nagyon kicsi, de a képletben szerepel. Az x ± 2u szimmetrikus lefedési intervallum két széle nem azonos a tűrés két határával: itt az egyik tűréshatár két, a másik nyolc szórásra van a mért értéktől. Ezért a lefedési intervallumon kívül maradó teljes valószínűséget nem használhatod automatikusan a tűrésen kívüli kockázatként.
| Mért x érték | Meg nem felelés modellbeli valószínűsége | Döntés a megadott sávval |
|---|---|---|
| 10,055 mm | 1,2224% | Elfogadás |
| 10,060 mm | 2,2750% | Elfogadás |
| 10,070 mm | 6,6807% | Elutasítás |
| 10,100 mm | Megközelítőleg 50% | Elutasítás |
A 10,070 mm-es darabnál a 6,6807% a meg nem felelés valószínűsége ebben a modellben. Mivel a darabot a szabály elutasítja, itt az egyedi gyártói kockázat a megfelelő volta miatti téves elutasítás esélye: 100% − 6,6807% ≈ 93,3193%. A beljebb húzott elfogadási határ tudatosan szigorú.
A 2,2750% más eloszlás, más bizonytalanság vagy más döntési sáv esetén nem vihető át automatikusan. A k = 2 szorzó megadása önmagában nem bizonyítja a teljes normális mérési modellt.
A mérési eljárás ismétlése más feltételes kérdés
Most rögzítsünk egy feltételezett valódi y értéket, és képzeljük el a teljes mérési eljárás sok ismétlését. A saját modellünkben a kapott X mért érték normális eloszlású, közepe y, szórása 0,020 mm. Ezt a teljes hibamodellt külön feltételezzük; egyetlen műszer gyors ismételt leolvasásának szórásából önmagában nem következik.
A kérdés ekkor: milyen gyakran kerül X az elfogadási tartományba, ha a valódi y-t rögzítettük? A mért értékre feltételes előző számítás és a valódi értékre feltételes mostani számítás eltérő eseményeket vizsgál.
Legyen az egyik darab valódi mérete 10,105 mm, tehát a tűrésen kívül. Egy másiké 10,050 mm, tehát azon belül. Hasonlítsuk össze a sáv nélküli egyszerű elfogadást és az előbb választott sávot:
| Döntési szabály, u = 0,020 mm mellett | A 10,105 mm-es darab hibás elfogadásának esélye | A 10,050 mm-es darab hibás elutasításának esélye |
|---|---|---|
| Egyszerű elfogadás: 9,900–10,100 mm | 40,1294% | 0,6210% |
| Döntési sávval: 9,940–10,060 mm | 1,2224% | 30,8538% |
Az elfogadás valószínűsége a rögzített valódi y mellett, az a–b elfogadási tartományra:
P(a ≤ X ≤ b | y) = Φ((b − y) / u) − Φ((a − y) / u).
Ha y a tűrésen kívül van, ez a hibás elfogadás esélye. Ha y a tűrésen belül van, az elfogadás helyes döntés; a hibás elutasítás esélyét az egyből kivont fenti valószínűség adja.
A 10,105 mm-es darabnál a felső határ sáv nélkül −0,25, sávval −2,25 standardizált értéket ad. Innen származik a 40,1294% és az 1,2224%. A másik, valóban megfelelő darabnál a felső elfogadási határ távolsága 2,5 szórásról 0,5 szórásra csökken; ezért nő jelentősen az elutasítás esélye. Mindkét számítás az alsó oldalt is tartalmazza.
Ezek két megnevezett valódi mérethez tartozó feltételes valószínűségek. A teljes gyártás selejtarányát vagy az elfogadott szállítmány hibaarányát nem adják meg. Az ilyen összesítéshez a gyártott valódi méretek eloszlása is kell.
A JCGM 106 szerinti globális fogyasztói kockázat az összes vizsgált darab körében a hibás elfogadás együttes valószínűsége. Ha azt keresed, hogy az elfogadott darabok mekkora része hibás, ezt még az elfogadás valószínűségével is osztanod kell. A jelentésben a nevezőt és a feltételt egyértelműen nevezd meg.
Mit változtat egy valóban pontosabb mérés?
Vizsgáljunk egy másik eljárást, amelynél igazoltan u = 0,010 mm érhető el. A tűrés marad, a szabály továbbra is w = 2u. Az új kiterjesztett bizonytalanság és sávszélesség 0,020 mm, az elfogadási tartomány 9,920–10,080 mm.
Ha ezzel az új eljárással végzett mérés ismét 10,070 mm-t ad, a darab a szabály szerint elfogadható. A hozzá tartozó x ± U intervallum 10,050–10,090 mm. A normális modellben a meg nem felelés esélye megközelítőleg 0,1350%. Ehhez új, megfelelően alátámasztott mérési eredmény kell; az előző méréshez utólag kisebb u-t rendelni nem lenne igazolt.
A két rögzített valódi méretnél is újraszámolhatjuk a döntés viselkedését:
| Eljárás és elfogadási tartomány | Hibás elfogadás y = 10,105 mm-nél | Hibás elutasítás y = 10,050 mm-nél |
|---|---|---|
| u = 0,020 mm; 9,940–10,060 mm | 1,2224% | 30,8538% |
| u = 0,010 mm; 9,920–10,080 mm | 0,6210% | 0,1350% |
Az új eljárás ebben a modellben mindkét megnevezett valódi méretnél kedvezőbb döntési viselkedést ad. A gazdasági értékeléshez a két kiragadott méret helyett a teljes termelés eloszlását, az új vizsgálat költségét, valamint a hibás elfogadás és elutasítás következményeit is figyelembe kell venned.
Öt próbálkozás, amelyekből egy elfogadás is elég
Térjünk vissza a 10,105 mm valódi méretű, nem megfelelő darabhoz, a 0,020 mm-es standard bizonytalansághoz és a 9,940–10,060 mm-es elfogadási tartományhoz. Egy teljes mérési eljárás hibás elfogadási esélyét már kiszámoltuk: p ≈ 1,2224%.
Most változzon meg a szabály: legfeljebb öt teljes vizsgálatot végzünk ugyanazon a darabon, az első elfogadó eredménynél leállunk, és csak öt elutasítás után utasítjuk el végleg. Tegyük fel külön, hogy mind az öt teljes mérés hibája egymástól független, és mindegyikre ugyanaz a normális modell érvényes.
Öt elutasítás esélye (1 − p)⁵. Az új szabály hibás elfogadási esélye ezért 1 − (1 − p)⁵ ≈ 5,9646%. Ez körülbelül 4,88-szorosa az egyszeri vizsgálat kockázatának. Az egyes vizsgálatok elfogadási határát változatlanul hagytuk; a teljes eljárás döntési szabálya mégis lényegesen más lett.
A függetlenség itt erős, kifejezetten választott feltevés. Ha az ismétlések ugyanazt az ismeretlen kalibrációs eltérést hordozzák, ez az ötödik hatványos képlet nem alkalmazható automatikusan. A közös hatást az ismétlések együttes modelljében kell kezelni. Az öt eredmény előre rögzített módon történő átlagolása és az átlag bizonytalanságának értékelése szintén más eljárás. Az ismétlések számát, az összes eredmény kezelését és a leállási feltételt ezért a mérés előtt rögzítsd.
Mikor túl nagy a bizonytalanság ehhez a szabályhoz?
A kétoldali elfogadási tartomány szélessége:
H − L − 2w.
A választott w = 2u szabállyal ez 0,200 mm − 4u. Pozitív szélességű elfogadási tartományhoz u < 0,050 mm szükséges. Pontosan 0,050 mm-nél egyetlen elfogadható pont maradna, 10,000 mm; a folytonos modellben ennek eltalálási valószínűsége nulla. Ennél nagyobb u esetén a két elfogadási határ sorrendje megfordul, tehát a szabály egyetlen eredményt sem fogad el.
Ez előzetes alkalmassági kérdés. Ilyen helyzetben a mérési módszer, a vizsgált követelmény vagy az alkalmazandó döntési szabály egyeztetése szükséges. A sávot egy kedvezőtlen mérés után önkényesen szűkíteni megváltoztatná a vállalt kockázatot.
A számítást és a nyilatkozatot hogyan készítsd elő?
A mérési bizonytalanság kalkulátor a megfelelően előkészített, független bemeneti bizonytalanságokból u-t és választott k mellett U-t számol. A cikkben szereplő elfogadási határokat és feltételes normális valószínűségeket külön vezettük le. A kalkulátor nem választ helyetted megfelelőségi döntési szabályt és nem ad automatikus termékminősítést.
A vizsgálati megállapodásban legyen azonosítható a mennyiség, a tűrés, a mérési eljárás és az alkalmazandó szabály. A mérési eredménynél szerepeljen x, u vagy az egyértelműen jelölt U, a használt k és a döntés alapja. Ha kockázati százalékot is közölsz, tedd hozzá, milyen eloszlással és milyen feltételes vagy összesített eseményre számoltad.
Ebben a példában egy 10,070 mm-es mérésnél a teljes, ellenőrizhető döntési indok: 9,900–10,100 mm tűrés, 0,020 mm standard bizonytalanság, k = 2, w = U, 9,940–10,060 mm elfogadási tartomány, a választott kétkimenetelű szabály szerinti elutasítás. Ebből pontosan látszik, milyen feltétel változtatásakor kell új döntést hozni.
Módszertani források
- JCGM 106:2012: a 7–9. fejezet a megfelelési valószínűséget, az elfogadási tartományt és a kockázatok értelmezését tárgyalja.
- ILAC G8:09/2019, az International Accreditation Service által közölt eredeti útmutató: döntési szabályok, döntési sávok és előzetes dokumentálás. A dokumentum az ILAC hivatalos útmutatójegyzékében is szerepel.
- NIST: normális eloszlás: az eloszlásfüggvény és a standardizálás matematikai alapja.
A méretek és a két mérési eljárás saját szemléltető feltevések. A valószínűségeket ezekből, mindkét tűréshatár figyelembevételével számoltuk.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A tűrés 9,900–10,100 mm, u = 0,020 mm, és w = 2u. Melyik az elfogadási tartomány a választott szabályban?
- A) 9,900–10,100 mm.
- B) 9,860–10,140 mm.
- C) 9,940–10,060 mm, a határokat is beleértve.
2. A 10,070 mm-es mért értéket az előző szabály elutasítja. Bizonyítja ez önmagában, hogy a darab valódi mérete a tűrésen kívül van?
- A) Igen, a valódi méret biztosan 10,100 mm fölött van.
- B) Igen, mert a 10,070 mm-es kijelzés is a tűrésen kívül esik.
- C) Nem; az elutasítás a választott elfogadási feltétel nemteljesülését jelenti.
3. Egy nem megfelelő darab egyszeri hibás elfogadási esélye 1,2224% körüli. Öt független teljes mérésből már egy elfogadás is elég. Hogyan változik a kockázat?
- A) Változatlan marad, mert az egyes mérések határa azonos.
- B) Körülbelül 5,9646%-ra nő: 1 − (1 − p)⁵.
- C) Ötödére csökken.
Megoldások és pontozás
1. C. A sáv 0,040 mm; az alsó határhoz hozzáadjuk, a felsőből levonjuk. Ez a mérés elfogadási szabálya, a tűrés változatlan. Ismétléshez: A tűrést és az elfogadási szabályt külön rögzítsd.
2. C. A kijelzés a tűrésen belül van, de a teljes x ± U intervallum kilóg. A szabály megfelelő darabokat is elutasíthat. Ismétléshez: Ugyanaz a tűrés, eltérő mérési döntések.
3. B. Az új eljárás csak öt elutasítás után utasít el végleg. A függetlenség külön feltevés; közös kalibrációs hatásnál más együttes modell kell. Ismétléshez: Öt próbálkozás, amelyekből egy elfogadás is elég.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.