Azonos összetételű, maradék nélkül elkészíthető csomagok legnagyobb számát az alapanyagok darabszámainak legnagyobb közös osztója, röviden LNKO-ja adja. A csomagokban lévő egyes darabszámokat ezután külön osztással kapod meg. A közös osztó ebben a feladatban a csomagok számát jelenti.
Ez akkor jó modell, ha minden tárgyat felhasználsz, minden csomagba ugyanannyi kerül az egyes fajtákból, és a tárgyakat egész darabokként osztod szét. Eltérő csomagtípusok vagy megengedett maradék esetén további feltételeket kell megadni.
Három készletből egy közös csomagszám
Saját szemléltető példánkban 72 ceruza, 120 radír és 168 matrica áll rendelkezésre. A legnagyobb közös osztót először a 72 és 120 között keressük. Maradékos osztással:
- 120 = 1 × 72 + 48;
- 72 = 1 × 48 + 24;
- 48 = 2 × 24 + 0.
Az utolsó nem nulla maradék 24, tehát LNKO(72, 120) = 24. A harmadik készlet 168 darabos, és 168 / 24 = 7 egész szám. Így mindhárom mennyiség közös osztója 24 marad. A maradékos eljárás az euklideszi algoritmus, amelynek leírását a NIST algoritmustára is közli.
Összesen 24 azonos csomag készülhet. Egy csomagba 72 / 24 = 3 ceruza, 120 / 24 = 5 radír és 168 / 24 = 7 matrica kerül. Ez csomagonként 15 tárgy. A visszaellenőrzés 24 × 3 = 72, 24 × 5 = 120 és 24 × 7 = 168; mindhárom készlet pontosan elfogy.
Miért ez a legnagyobb darabszám?
A prímtényezős felbontás másik nézőpontot ad. A 72 = 2³ × 3², a 120 = 2³ × 3 × 5, a 168 = 2³ × 3 × 7. Mindháromban közös a 2³ és a 3, ezért a szorzatuk 8 × 3 = 24. Az 5 és a 7 csak egy-egy készletben jelenik meg, így egyik sem növelheti a közös csomagszámot.
A közös tényezőkről szóló OpenStax-fejezet a tényezőkre bontás matematikai hátterét mutatja be. A csomagolási feladat gyakorlati feltételeit neked kell hozzátenned: például azt, hogy három ceruza valóban megfelelő-e egy csomagban.
Ha kevesebb, nagyobb csomagot szeretnél, választhatsz olyan kisebb csomagszámot, amely minden készletet oszt. A példában 12 csomag esetén 6 ceruza, 10 radír és 14 matrica kerül egy csomagba. Nyolc csomagnál 9, 15 és 21 darab az összetétel. Mindkét választás maradékmentes, bár az LNKO által megadott maximumnál kevesebb csomag készül.
Amikor a csomag összetétele és mérete is kötött
A maradékmentes csomagszámok a 24 pozitív osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ezek között keress, ha további feltétel is van; egy tetszőleges, 24-nél kisebb egész szám még nem megfelelő.
Tegyük fel, hogy minden csomagba legalább 4 ceruza kell, és a doboz legfeljebb 20 tárgyat fogad be. Az első korlát szerint a csomagok száma legfeljebb 72 / 4 = 18. Összesen 72 + 120 + 168 = 360 tárgyat kell elhelyezni, ezért a második szerint legalább 360 / 20 = 18 csomag szükséges. Csak a 18 jöhetne szóba, ez viszont nem osztója 24-nek: például 120 / 18 radír nem egész szám. A két korláttal nincs maradékmentes, azonos összetételű megoldás.
Ha a dobozkapacitás 30 tárgyra nő, legalább 360 / 30 = 12 csomag kell. A legalább 4 ceruzás feltétel továbbra is legfeljebb 18 csomagot enged. A 24 pozitív osztói közül ebbe a tartományba egyedül a 12 esik: 6 ceruza, 10 radír és 14 matrica kerül mindegyikbe. E két korláttal ez az egyetlen maradékmentes csomagszám. A feltételek átírásának következményét így a teljes megengedett tartományban ellenőrizted.
A fix csomagszám külön ellenőrzés
Ha előre 30 résztvevőre kell készülni, az LNKO 24-es eredménye azt jelzi, hogy a jelenlegi készletből a kért módon nem készül 30 azonos csomag. A 72 / 30 = 2,4 ceruza már önmagában mutatja a problémát: egész tárgyak esetén ez az összetétel nem használható.
Ilyenkor új feladatot fogalmazz meg. Dönthetsz például csomagonként 2 ceruza, 4 radír és 5 matrica mellett. Harminc csomaghoz így 60, 120 és 150 darab kell, és 12 ceruza, valamint 18 matrica marad. Ez már tudatosan megengedett maradékkal dolgozó terv.
Mi a legkisebb pótlás harminc teljesen azonos csomaghoz?
Tartsuk meg a 30 résztvevőt, de most azt kérjük, hogy az eredeti készlet minden darabja bekerüljön valamelyik csomagba. További tárgyat vásárolhatunk, a csomagok összetétele egyezzen meg, és végül semmi ne maradjon. Először feltételezzük, hogy darabonként is pótolható a készlet.
A ceruzából csomagonként legalább 72 / 30 = 2,4 darab jutna; ezt egészre felfelé kerekítve 3 kell. Harminc csomaghoz így 90 ceruza szükséges, vagyis 18 darabot pótolsz. A 120 radír pontosan 4 darabot ad csomagonként, abból nem kell több. A 168 / 30 = 5,6 matrica miatt csomagonként 6-ot választasz: összesen 180 darabot, azaz 12 új matricát.
| Tárgy | Meglévő készlet | Új összkészlet | Pótlás | Egy csomag |
|---|---|---|---|---|
| Ceruza | 72 | 90 | 18 | 3 |
| Radír | 120 | 120 | 0 | 4 |
| Matrica | 168 | 180 | 12 | 6 |
A pótlás tárgyfajtánként a legkisebb olyan összkészletig tart, amely legalább akkora, mint a meglévő, és osztható 30-cal. Összesen 30 új tárgy kell; a csomagolás 30 × (3 + 4 + 6) = 390 tárgyat használ fel.
Más eredmény adódik, ha ceruzát csak tízes csomagban vásárolhatsz. Két ilyen csomaggal 92 ceruzád lenne, ebből a 30 ajándékba 90 kerülne, kettő maradna. További tízesekkel a készlet utolsó számjegye mindig 2 marad, miközben 30 minden többszöröse 0-ra végződik. Ezzel a beszerzési szabállyal tehát egyetlen mennyiségű pótlás sem oldja meg a teljesen maradékmentes feladatot.
Ilyenkor valamelyik feltételt kell módosítani: például megengedsz két tartalék ceruzát, vagy keresel darabonkénti pótlást. Az LNKO és az egészre kerekítés megmutatja a mennyiségi feltételt; a vásárlási kiszerelés külön ellenőrzést igényel.
Az LNKO-kalkulátorban legfeljebb 12 egész számot adhatsz meg, szóközzel vagy pontosvesszővel elválasztva. A csomagolási példához pozitív darabszámokat használj. Ha egy tárgyból nulla van, előbb döntsd el, kötelező-e egyáltalán a csomagban szerepelnie. A matematikai nullakezelés ezt a tartalmi kérdést nem oldja meg.
Az ellenőrzés végén szorozd vissza minden csomagtípus darabszámát a csomagok számával. Így külön is látható, hogy valóban az összes készletet felhasználtad-e, és a kiszámolt összetétel teljesíti-e a gyakorlati célt.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 72 ceruzából, 120 radírból és 168 matricából hány teljesen azonos csomag készülhet legfeljebb, minden darab felhasználásával?
- A) 24; csomagonként 3 ceruza, 5 radír és 7 matrica.
- B) 24; minden fajtából 24 darab jut egy csomagba.
- C) 30; a tört darabszámot lefelé kerekítjük.
2. Ugyanezekből a készletekből legalább 4 ceruza legyen minden csomagban, és legfeljebb 20 tárgy férjen egy dobozba. Melyik állítás helyes maradék nélkül?
- A) 24 csomag biztosan teljesíti a ceruzafeltételt.
- B) 18 azonos csomag biztosan készül.
- C) Nincs megoldás: csak 18 csomag férne a két darabszámkorlát közé, de a 18 nem közös osztó.
3. 72 ceruzához csak tízes kiszerelésben vásárolhatsz. Lehet-e minden ceruzát pontosan 30 azonos csomagba szétosztani maradék nélkül?
- A) Nem: a 72 + 10k készlet nem osztható 30-cal.
- B) Igen, bármely elég nagy k megfelelő.
- C) Igen, két tízes csomag mindig elegendő maradék nélkül.
Megoldások és pontozás
1. A. A készletek LNKO-ja 24, ez a csomagok maximális száma. A tartalmat készletenként 24-gyel osztva kapjuk. Ismétléshez: Három készletből egy közös csomagszám.
2. C. A ceruzafeltétel n ≤ 18, a 360 tárgy és a 20-as kapacitás n ≥ 18. A 18 azonban nem osztja a 120-at és a 168-at. Ismétléshez: Amikor a csomag összetétele és mérete is kötött.
3. A. A készlet utolsó számjegye minden egész k mellett 2, a 30 többszörösei viszont 0-ra végződnek. A beszerzési vagy a maradékfeltételt módosítani kell. Ismétléshez: Mi a legkisebb pótlás harminc teljesen azonos csomaghoz?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.