Kepler harmadik törvénye a keringési idő négyzetét a pálya fél nagytengelyének köbéhez kapcsolja. Ugyanazon központi tömeg körül a nagyobb pályához hosszabb periódus tartozik. Körpályán a fél nagytengely a pályasugár, így a számítás közvetlenül elvégezhető a középponttól mért távolsággal.
A tömeg és a megfelelő távolság
Ha a keringő test tömege elhanyagolható a központi M tömeghez képest:
T = 2π × √[a³ / (GM)].
T másodperc, a méter, M kilogramm. A gravitációs állandóhoz a NIST CODATA-értékét használjuk: G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²). A periódus és az ellipszis fél nagytengelyének kapcsolatát az OpenStax Kepler-fejezete tárgyalja.
Körpályán a = r, a bolygó középpontjától mért sugár. A felszíntől mért h magasságot a bolygó R sugarával ki kell egészítened: r = R + h. Ez az egyik leggyakoribb eltérés a feladat szövege és a kalkulátor bemenete között.
Saját körpályapélda
Vegyünk egy hipotetikus égitestet, amelynek tömege 4 × 10²⁴ kg, sugara 6 000 km. A körpálya magassága a felszíne felett szintén 6 000 km. A számításhoz használt pályasugár tehát 12 000 km = 12 000 000 m.
A gravitációs tömegparaméter:
GM = 6,67430 × 10⁻¹¹ × 4 × 10²⁴ = 2,66972 × 10¹⁴ m³/s².
A gyök alatti hányados r³ / GM ≈ 6 472 588,886 s². Négyzetgyököt vonva, majd 2π-vel szorozva:
T ≈ 15 985,230 s = 4,44034 óra.
Ez körülbelül 4 óra 26 perc 25 másodperc. A keringési idő kalkulátorában kilogrammot válassz a tömeghez, a pályasugárnál pedig 12 000 km-t adj meg. A 6 000 km-es felszíni magasság közvetlen beírása más pályát jelentene.
A pályasugár visszaszámítása
A periódusból a köbgyökös alakot kapjuk:
a = ∛[GM × T² / (4π²)].
Maradjon ugyanaz a 4 × 10²⁴ kg-os égitest, a kívánt körpálya periódusa pedig legyen 6 óra, azaz 21 600 s. Behelyettesítve a sugár körülbelül 14 666 883 m, vagy 14 666,883 km.
A pályasugár-kalkulátorban a 6 órát közvetlenül is megadhatod. A kapott sugárból a bolygó 6 000 km-es sugarát levonva a körpálya magassága 8 666,883 km. A távolság és magasság külön feltüntetése megakadályozza, hogy a helyes képlet eredményét rossz geometriai mennyiségként használd tovább.
Arányokkal gyorsan ellenőrizhető
Azonos központi tömeg mellett kétszeres pályasugárhoz 2^(3/2) ≈ 2,82843-szoros periódus tartozik. A példabeli 4,44034 óra így körülbelül 12,55918 órára nőne.
Azonos pályasugárnál a központi tömeg kétszerezése a periódust √2-vel osztja: a szemléltető érték 3,13980 óra lenne. A nagyobb tömeghez ugyanazon távolságban rövidebb keringési idő tartozik. Ezek az arányok a teljes számítás nagyságrendjének ellenőrzésére is használhatók.
Ellipszispálya két szélső távolságból
Maradjon a 4 × 10²⁴ kg tömegű hipotetikus központi égitest. Egy ellipszispálya legközelebbi pontja legyen a középponttól 8 000 km, a legtávolabbi 16 000 km. A fél nagytengely a két szélső távolság számtani közepe:
a = (8 000 + 16 000) / 2 = 12 000 km.
A periódus ezért ugyanaz a 4,44034 óra, mint a 12 000 km sugarú körpályáé, a kis keringő tömegű kéttestmodellben. Az ellipszis a két végpont között változó távolságot jár be, mégis egyetlen teljes keringési ideje van.
| A képletbe írt távolság | Kapott periódus | Mit jelent? |
|---|---|---|
| 8 000 km | kb. 2,41702 óra | A legközelebbi távolság hibás használata |
| 12 000 km | kb. 4,44034 óra | A helyes fél nagytengely |
| 16 000 km | kb. 6,83635 óra | A legtávolabbi távolság hibás használata |
A felszínen kívüli pályához külön ellenőrizd, hogy a legközelebbi középponti távolság is meghaladja az égitest sugarát. A fél nagytengely nagyobb volta ehhez önmagában kevés: egy elnyúlt ellipszis közelebb is viheti a testet. A saját példában a 8 000 km-es legközelebbi pont kívül marad a 6 000 km sugarú égitesten. Ez csak a geometriai ütközést vizsgálja, a légkört és a többi pályahatást nem.
A két hibás sor nem ugyanannak az ellipszisnek két helyi periódusa. Más fél nagytengelyű pályákat számolnak. Ha a szélső pontokat felszín feletti magasságként kapod meg, előbb mindkettőhöz add hozzá a központi égitest sugarát. A cikkbeli 6 000 km-es sugárnál a 2 000 és 10 000 km-es felszíni magasság éppen a fenti 8 000 és 16 000 km-es középponti távolságot adja.
Ellipszis és a modell határai
Ellipszispályán a fél nagytengelyt használd, ne egy tetszőleges pillanatnyi távolságot. A DG keringési eszköze körpályasebességet is közöl: ez az ellipszis egy pontjának sebességeként nem értelmezhető. Azonos fél nagytengelyű ellipszisek periódusa a kéttestmodellben azonos lehet, miközben a testek sebessége a pálya mentén változik.
Ha a keringő társ tömege sem elhanyagolható, a kéttest-kapcsolatban GM helyén G(M + m) szerepel, a pedig a két test relatív pályájának fél nagytengelye. A NASA Kepler-ismertetője ezt a tömegfüggő általánosítást is tárgyalja.
Új, két ponttömegű modellben legyen mindkét tömeg 4 × 10²⁴ kg, állandó távolságuk 24 000 km. A közös tömegközéppont körül mindkettő 12 000 km sugarú kört ír le, de a periódusképletbe a 24 000 km-es relatív sugár és a 8 × 10²⁴ kg össztömeg kerül. A közös periódus így körülbelül 8,88068 óra.
Ha az egyik test 12 000 km-es tömegközépponti sugarát egyetlen 4 × 10²⁴ kg-os rögzített központ körüli pályaként számolnád, csak 4,44034 órát kapnál. A másik test azonban maga is mozog. A saját példából látszik, miért kell előre tisztázni, hogy a megadott pályaméret egyetlen test tömegközéppont körüli útja vagy a két test relatív pályája.
Több jelentős égitest zavaró hatása, légellenállás vagy hajtás esetén a számított egyszerű periódus csak viszonyítási érték.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. 6000 km sugarú égitest körül 6000 km felszín feletti körpályán jársz. Mekkora pályasugár kell a képletbe?
- A) 12 000 km
- B) 6000 km
- C) 0 km
2. Egy ellipszis két szélső középponti távolsága 8000 és 16 000 km. Mekkora a periódushoz használt fél nagytengely?
- A) 8000 km
- B) 12 000 km
- C) 24 000 km
3. Két azonos tömegű test a közös tömegközéppont körül 12 000–12 000 km sugarú kört ír le. Milyen sugár és tömeg kell a relatív pálya Kepler-képletébe?
- A) 12 000 km és az egyik tömeg
- B) 12 000 km és nulla központi tömeg
- C) 24 000 km és a két tömeg összege
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) A tömeg és a megfelelő távolság résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
A) 12 000 km – A középponti távolság R+h=12 000 km. A felszíni magasság más geometriai adat. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A tömeg és a megfelelő távolság.
2. megoldás
B) 12 000 km – A két szélső távolság átlaga adja a fél nagytengelyt: (8000+16 000)/2=12 000 km. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Ellipszispálya két szélső távolságból.
3. megoldás
C) 24 000 km és a két tömeg összege – A relatív távolság a két sugár összege, a gravitációs paraméter G(M+m). Az egyik test saját tömegközépponti pályasugara nem a relatív pályasugár. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Ellipszis és a modell határai.