Egy fekvő, hengeres tartályban a 25 százalékos folyadékszinthez általában nem 25 százalékos töltöttség tartozik. A henger alja keskeny, középen széles, felül ismét keskeny. Emiatt ugyanaz az egy centiméteres szintváltozás más mennyiségű folyadékot jelent alul és a tartály középvonalánál.
A tartálytöltöttség-kalkulátor belső méretekből számolja a folyadék mennyiségét, a teljes és szabad térfogatot, valamint a szinthez tartozó litertáblázatot. Fekvő hengernél a modell egyenes, vízszintes tengelyt, kör keresztmetszetet és sík véglezárásokat feltételez. Az alábbi számok egy elképzelt víztartályra vonatkoznak.
Előbb a tartály alakját azonosítsd
Állandó keresztmetszetű, álló hengernél a folyadék térfogata a szinttel arányosan nő. Ugyanez igaz a függőleges falú téglatest alakú tartályra. Fekvő hengernél körszeletet töltesz fel, ezért más képlet szükséges.
A teljes henger térfogata π × sugár² × hossz. A sugár az átmérő fele. Az OpenStax geometriai tankönyve a teljes henger térfogatát és a mértékegységek szerepét ismerteti. A részleges töltéshez a körszelet területét kell megszorozni a henger hosszával; ennek levezetése a Wolfram MathWorld körszeletoldalán olvasható.
A számítás szempontjából a tartály színe, anyaga vagy névleges megnevezése kevés információ. A folyadéktér valódi alakja szükséges. Egy domború végű, bordázott vagy eldeformálódott tartály egyszerű hengerként csak közelíthető, a geometriai eredmény pontosságát ilyen esetben külön ellenőrizni kell.
Milyen méreteket mérj meg?
A kalkulátorhoz a folyadéktér belső átmérője és a sík véglapok közötti belső hossza kell. A folyadékszintet függőlegesen, a belső alsó ponttól a felszínig mérd. Minden hosszadat azonos egységben szerepeljen.
Ha felülről a folyadékig mért üres magasságot ismered, először számítsd át. Egy 100 cm belső átmérőjű, szabályos fekvő hengernél 40 cm felső üres magasság 60 cm folyadékszintet jelent. A különbséget a belső felső ponttól kell értelmezni; egy kiálló betöltőnyak teteje más viszonyítási pont.
A külső átmérő használata túl nagy űrtartalmat adhat. Ha például a külső átmérő 104 cm, az egyenletes falvastagság pedig oldalanként 2 cm, a belső átmérő 100 cm. A belső hossz meghatározásához a végek kialakítását is ismerni kell. Ismeretlen falvastagságból ne állíts elő látszólag pontos belső méretet.
Első példa: 100 centiméter átmérő, 200 centiméter hossz
A mintatartály belső sugara 50 cm, hossza 200 cm. Teljes térfogata π × 50² × 200 = 1 570 796,33 cm³, vagyis 1570,80 liter. Az átváltáshoz 1000 cm³ = 1 liter kapcsolatot használunk.
Félmagasságnál a folyadék a kör keresztmetszet felét foglalja el, tehát 50 cm szintnél 785,40 liter van benne. A vízszintes hengerrész matematikai leírása az üres, félig telt és teljesen telt állapotot is ellenőrző esetként adja meg.
| Folyadékszint a belső aljtól | Folyadékmennyiség | Térfogati töltöttség |
|---|---|---|
| 0 cm | 0,00 liter | 0,00% |
| 10 cm | 81,75 liter | 5,20% |
| 25 cm | 307,09 liter | 19,55% |
| 50 cm | 785,40 liter | 50,00% |
| 60 cm | 984,06 liter | 62,65% |
| 75 cm | 1263,70 liter | 80,45% |
| 90 cm | 1489,05 liter | 94,80% |
| 100 cm | 1570,80 liter | 100,00% |
Huszonöt centiméter szintnél tehát körülbelül 307 liter van a tartályban. A teljes térfogat negyede 392,70 liter lenne. A szintből egyszerű százalékszámítással kapott becslés ebben a helyzetben 85,61 literrel túl magas.
A táblázat a szimmetriát is megmutatja: a 25 cm-nél lévő mennyiség és a 75 cm-nél lévő mennyiség összege a teljes térfogat. Az alul üresen hagyott körszelet és a vele azonos magasságú felső rész azonos méretű. Ez hasznos gyors ellenőrzés, ha saját táblázatot készítesz.
Második példa: mennyi víz használható még fel?
Tegyük fel, hogy ugyanebben a tartályban 60 cm a folyadékszint. A geometriai mennyiség 984,06 liter. A saját rendszeredben azonban a korábbi mérés szerint 10 cm szint alatt már nem tudod kivenni a vizet. Ez a példában választott működési határ, más tartályra nem általánosítható.
A 10 cm alatt maradó mennyiség 81,75 liter. A két szint között elérhető készlet ezért 984,06 − 81,75 = 902,31 liter. Ha ebből egy alkalommal 250 litert használsz fel, három teljes alkalomra elegendő, és utána körülbelül 152,31 liter felhasználható tartalék marad. Közben érkező utánpótlást és veszteséget ebben a példában nem számoltunk.
A használható mennyiséghez két külön kalkulációt készíts: egyet az aktuális, egyet a használat alsó szintjével. Ha az aktuális szint az alsó határ fölött van, vond ki a két térfogatot. A határon vagy alatta a modell szerinti kivehető készlet nulla; a negatív különbség nem használható vízmennyiség. A 60 − 10 = 50 cm szintkülönbséget önmagában fél tartálynak tekintve 785,40 litert kapnál, ami itt hibás eredmény.
A geometriai szabad térfogat ebben az állapotban 1570,80 − 984,06 = 586,74 liter. A ténylegesen még betölthető mennyiséget a tartály megengedett üzemi szintje korlátozhatja. A teljes geometriai térfogat és a gyártó által engedélyezett feltöltési mennyiség külön adat.
Milyen szint kell négy teljes felhasználáshoz?
Négy, egyenként 250 literes alkalomhoz 1000 liter felhasználható vizet szeretnél félretenni. A példabeli alsó, 10 cm-es működési határ változatlan, ezért az alatta lévő 81,75 litert is hozzá kell adnod. A keresett geometriai készlet:
V_cél = 4 × 250 + 81,7506 ≈ 1081,75 liter.
Előbb ellenőrizd, hogy a megengedett felső üzemi szinthez tartozó geometriai készlet eléri-e ezt a célt. Ha kevesebb, ebben a tartályban a megadott használati korlátokkal nincs megfelelő célszint. A szükséges folyadékszintet ezután a körszelet képletéből vagy a szinttáblázat egyre szűkebb tartományából keresheted meg. Ebben a 100 cm átmérőjű, 200 cm hosszú tartályban 65 cm szinthez körülbelül 1080,84 liter tartozik. Ez a 10 cm alatti részt levonva 999,08 liter használható készlet: a négy alkalomhoz még körülbelül 0,915 liter hiányzik.
66 cm-nél 1099,85 liter a geometriai mennyiség, amelyből 1018,10 liter használható. A keresett szint tehát 65 és 66 cm közé esik. Finomabb lépésekkel számolva körülbelül 65,048 cm adja a szükséges 1081,75 litert. A 65,1 cm-es ellenőrző eset 1000,99 liter felhasználható mennyiséget mutat.
Ez jó példa arra, miért nem szabad az eredményt lefelé kerekítve teljesülő készletfeltételt állítani. A 65,048 cm matematikai küszöb 65 cm-re kerekítve már kevesebb vizet jelent a szükségesnél. A tizedmilliméteresnek látszó eredmény ugyanakkor nem teszi ilyen pontosságúvá a tartályméretet vagy a szintleolvasást.
Ha például dokumentáltan azt tudod, hogy a leolvasott szinttől a valódi szint legfeljebb 0,5 cm-rel térhet lefelé, akkor a saját készletfeltételedhez legalább 65,048 + 0,5 ≈ 65,548 cm-es leolvasás kellene, a többi adatot továbbra is pontosnak tekintve. A felvett 0,5 cm itt egy szemléltető alsó eltérési határ; standard bizonytalanságból vagy szórásból nem következik automatikusan ilyen biztos korlát. A tartály alakjának, belső méreteinek vagy a kivehetőségi határnak a hibája további eltérést okozhat.
Az eszköz előrefelé, megadott szintből számol. A keresett szintet egymás utáni futtatásokkal vagy finomabb saját szinttáblázattal szűkítheted; közvetlen „1000 literből szint” bemenetet ez a példa nem feltételez.
Így készíts saját szinttáblázatot
- Nyisd meg a tartálytöltöttség és folyadékszint számolót, és válaszd a „Fekvő henger” alakot.
- A mintához állítsd az egységet centiméterre, a belső hosszt 200-ra, az átmérőt 100-ra és a folyadékszintet 60-ra.
- A megjelenített térfogathoz válaszd a litert. Ellenőrzésként körülbelül 984,0567 litert kell kapnod.
- A szinttáblázat lépését állítsd például 5 cm-re. Ez a mező mindig centimétert kér, akkor is, ha a tartály méreteit méterben adod meg.
- A táblázat mellé írd oda a tartály azonosítóját, belső méreteit és a mérés nullapontját. Így később sem keveredik másik tartály adataival.
A hengerkalkulátorral a teljes térfogatot külön is ellenőrizheted. Ott sugarat kér az eszköz: ebben a példában 50-et, hosszúságként pedig 200-at használj, végig centiméterrel. A kapott köbcentimétert oszd ezerrel a literhez. Száz centiméter sugarat megadva négyszeres teljes térfogat jönne ki.
Milyen sűrű legyen a leolvasott szinttáblázat?
A kis szintváltozáshoz tartozó térfogatváltozást a folyadékfelszín alapterülete határozza meg. A mintatartályban a h szinthez tartozó körhúr szélessége 2√(2Rh − h²), ahol R = 50 cm. Ezt a 200 cm-es hosszal szorozva, majd ezerszeres cm³/liter átváltással a helyi érzékenység:
dV/dh = 2 × 200 × √(2 × 50 × h − h²)/1000 liter/cm.
Középen, h = 50 cm-nél ez 20 liter/cm, tízcentis szintnél 12 liter/cm. Az egész tartományban a húszas érték a legnagyobb, mert a körhúr a középvonalnál a legszélesebb.
Ha az ötcentiméterenként készített táblázatból mindig a mért szint alatti legközelebbi sort választod, e táblázati lefelé kerekítés legfeljebb 5 × 20 = 100 literrel becsülheti alá a geometriai készletet. Ha kizárólag ezt az eltérést legfeljebb tíz literre szeretnéd korlátozni, 0,5 cm-es vagy kisebb lépés elegendő: 0,5 × 20 = 10 liter.
Ez a korlát a pontosnak vett szint táblázati lefelé kerekítésére vonatkozik. A két sor közötti interpoláció más eljárás, a bizonytalan szintmérés és a tartály alakhibája pedig további eltérés. A sűrűbb táblázat ezek pontosságát nem javítja.
Mennyit számít egy centiméter mérési hiba?
A mintatartályban 49 cm szinthez 765,40 liter, 50 cm-hez 785,40 liter, 51 cm-hez 805,40 liter tartozik. A középvonal közelében tehát egy centiméter körülbelül húsz liter változást jelent. Egy bizonytalan szintleolvasást a kalkulátor négy tizedesjegyes kijelzése sem tesz pontosabbá.
A hullámzó felszín leolvasása, az eltérő mérési pont és a ferde mérőeszköz változó eredményt okozhat. Jegyezd fel a mérési körülményeket, és ismételd meg a leolvasást. Ha a szintet csak egész centiméterre tudod meghatározni, a készlettervben általában egész literre kerekített eredmény is bőven elég; a mérési bizonytalanság ettől még megmarad.
Lejtő tengelynél a keresztmetszetek különböző pontjain eltérő töltési magasság alakul ki. A kalkulátor ezt nem modellezi. Domború fenék, belső szerelvények vagy lényeges alakeltérés esetén a gyártó tartályhoz tartozó szinttáblázata, illetve dokumentált kalibráció adhat jobb alapot.
Melyik eredményt használd a következő számításhoz?
Készletellenőrzéshez a folyadékmennyiséget, egy következő feltöltés tervezéséhez a megengedett felső szintig szabad mennyiséget, felhasználási tervhez pedig az elérhető készletet vidd tovább. Ugyanannak a tartálynak mindhárom adata hasznos, és mindhárom más kérdésre válaszol.
Esővíznél a további tervezést az esővízgyűjtés és öntözési vízigény cikkével folytathatod. Ott már a beérkező és elhasznált víz időbeli egyenlege számít. A most elkészített, saját tartályra érvényes szinttáblázat ehhez ad ellenőrizhető kiinduló készletet.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. A 100 cm belső átmérőjű, 200 cm hosszú fekvő hengerben 25 cm a vízszint. Mennyi víz van benne?
- A) 392,70 liter
- B) 785,40 liter
- C) Körülbelül 307,09 liter
2. 60 cm-nél 984,06 l van benne, de 10 cm-nél 81,75 l már kivehetetlen. Mennyi a használható készlet?
- A) Körülbelül 902,31 liter
- B) 785,40 liter
- C) 984,06 liter
3. A legnagyobb érzékenység 20 l/cm. Legfeljebb 10 l táblázati alábecsléshez mekkora lefelé kerekítési lépés elegendő?
- A) 5 cm
- B) Legfeljebb 0,5 cm
- C) 2 cm
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) Első példa: 100 centiméter átmérő, 200 centiméter hossz résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
C) Körülbelül 307,09 liter – A körszelet térfogata a teljes tartály mintegy 19,55%-a. A magasság negyede nem térfogati negyed. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Első példa: 100 centiméter átmérő, 200 centiméter hossz.
2. megoldás
A) Körülbelül 902,31 liter – A két geometriai térfogat különbsége 984,06 − 81,75 = 902,31 l. A szintkülönbséget nem számoljuk külön fél tartályként. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Második példa: mennyi víz használható még fel?.
3. megoldás
B) Legfeljebb 0,5 cm – 10/20 = 0,5 cm. Ez a táblázati kerekítést korlátozza; a mérés és a tartály alakhibája továbbra is külön eltérés. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Milyen sűrű legyen a leolvasott szinttáblázat?.